Autokorrelation kann insbesondere ein Problem in linearen Regression sein, in denen Zeitreihen als Daten vorliegen. Wenn Autokorrelation vorliegt, erhalten wir verzerrte Schätzer. Autokorrelation heißt, dass der Wert des Residuums den nachfolgenden Wert positiv oder negativ beeinflusst. Autokorrelation heißt also, dass der \(i\)-te Residualwert den \((i+1)\)-ten Residualwert beeinflusst.

Autokorrelation indiziert daher zeitliche Bezüge (nicht-lineare Beziehung) oder das Fehlen von Variablen im Modell.

Variante 1: lagged regression

Hierbei wird einfach eine Regression der Residuen gerechnet. Abhängige Variable sind die Residuen in umgekehrter Reihenfolge (res[-n]) und unabhängige Variable ist jeweils vorherige Residuum (res[-1]). Wir sollten einen nicht signifikanten Wert für den Koeffizienten von res[-1] erhalten. Wenn dieser signifikant ist, könnte Autokorrelation vorliegen.

res <- olsModel2$res  

n <- length(res)       

testmodel <- lm(res[-n] ~ res[-1]) 

summary(testmodel)

## 
## Call:
## lm(formula = res[-n] ~ res[-1])
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -5.7047 -1.0858  0.0431  1.1619  5.8150 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 0.0003331  0.0247593   0.013    0.989
## res[-1]     0.0045302  0.0142998   0.317    0.751
## 
## Residual standard error: 1.732 on 4890 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  2.052e-05,  Adjusted R-squared:  -0.000184 
## F-statistic: 0.1004 on 1 and 4890 DF,  p-value: 0.7514

\(\Rightarrow\) Und wir haben das in diesem Fall erhalten! Wenn der Effekt signifikant ist, weißt du, dass das jeweiligevorherige Residuum einen signifikanten (also mehr als zufälligen) Effekt hat. Und das bedeutet dann, dass Autokorrelation vorliegt.

Variante 2: Durbin-Watson-Test

Zweitens kannst du dir die Durbin-Watson-Statistik ausgeben lassen. Dazu nutzt du die Funktion dwtest() aus der library lmtest.

Der Durbin-Watson-Test ist ein Hypothesentest. Die Nullhypothese lautet dabei:

\(H_0\): Autokorrelation ist gleich \(0\).

Ziel ist es also einen nicht signifikanten Hypothesentest zu erhalten, um abzulehnen, dass Autokorrelation vorliegt.

In diesem Test ist das lag (Verzögerung) immer gleich \(1\):

dwtest(olsModel2)

## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  olsModel2
## DW = 1.9906, p-value = 0.3717
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

\(\Rightarrow\) Wie in Variante 1 zeigt der Durbin-Watson-Test ebenfalls an, dass keine Autokorrelation vorliegt.

Variante 3: Breusch-Godfrey-Test

Ein dritter Weg ist die Ausgabe des Breusch-Godfrey-Test. In diesem Test können wir die Verzögerung (lag) einstellen. Hierfür nutzen wir die Funktion bgtest() aus der library lmtest.

Auch der Breusch-Godfrey-Test ist ein Hypothesentest. Wie auch beim Durbin-Watson-Test ist die Nullhypothese folgende:

\(H_0\): Autokorrelation ist gleich \(0\).

Ziel ist also wie beim Durbin-Watson-Test auch ein nicht signifikantes Testergebnis!

Wie zuvor ist im erten Argument der Funktion einfach das Objekt der Regression. Im zweiten Argument (order) kannst du das lag einstellen.

bgtest(
  olsModel2,
  order = 1
)

## 
##  Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 1
## 
## data:  olsModel2
## LM test = 0.10042, df = 1, p-value = 0.7513

\(\Rightarrow\) Auch hier erhalten wir die Information, dass keine Autokorrelation vorliegt.

Variante 4: Grafische Analyse

Wir könnten uns auch noch die Residuen plotten, um auf Autokorrelation zu prüfen. Dazu nutzt man einfach wieder die plot()-Funktion und gibt nun die Residuen des Models als Dateneingabe ein. Liegt Autokorrelation vor, würdest du ein Muster wie ganz am Anfang auf dieser Seite sehen.

plot(olsModel2$residuals)

\(\Rightarrow\) Du siehst, dass kein Muster wie oben vorliegt. Auch hiermit bestätigst du, dass keine Autokorrelation vorliegt.