Unterstrukturen in endlichen projektiven Räumen und Polarräumen

Abstract

Diese Dissertation untersucht aktuelle Fragestellungen der endlichen projektiven Geometrie. Es werden Unterstrukturen im endlichen projektiven Raum PG(n,q) und in den darin eingebetteten endlichen klassischen Polarräumen betrachtet. Die einzelnen Kapitel dieser Arbeit sind dabei voneinander unabhängige Untersuchungen.Trotzdem stellen sich immer wieder die gleichen Fragen:Existiert eine Menge mit den gewünschten Eigenschaften?Wie groß oder klein ist ihre Mächtigkeit?Wie sehen mögliche Beispiele aus?Es geht also um Existenzbedingungen, obere und untere Schranken, sowie um Klassizierungsaussagen. Die Beweise werden mit geometrischen und kombinatorischen Argumenten geführt.In Kapitel 1 werden die Grundlagen beschrieben und Notationen festgelegt.Kapitel 2 befasst sich mit der Suche nach q-regulären Graphen mit Taillenweite 8. Dieses graphentheoretische Problem wird mit geometrischen Methoden angegangen. Der Inzidenzgraph eines verallgemeinerten Vierecks der Ordnung q ist ein (q+1)-regulärer Graph der Taillenweite 8. Die Idee ist, einige Ecken und Kanten dieses Graphen zu löschen um einen q-regulären Graphen zu erhalten. Das entspricht dem Entfernen von Punkten und Geraden des verallgemeinerten Vierecks, so dass auf jeder verbleibenden Gerade genau ein Punkt und für jeden verbleibenden Punkt genau eine Gerade durch diesen gelöscht wird. Es wird eine untere und eine obere Schranke für solche Punkt-Geraden-Mengen bewiesen und eine Reihe von Beispielen angegeben. Die Ergebnisse dieses Kapitels sind beim Journal of Combinatorial Designs veröffentlicht.Kapitel 3 ist in zwei Abschnitte unterteilt. Der erste Teil verbessert die untere Schranke für kleine maximale Teilfaserungen der elliptischen Quadrik in PG(5,q). Der zweiten Teil enthält einen geometrischen Beweis dafür, dass kein Teilovoid mit 35 Elementen der elliptischen Quadrik in PG(5,4) existiert. Kapitel 4 behandelt die Klassizierung von Minihypern speziellen Typs. Die dazugehörige Arbeit ist bei Advances in Mathematics of Communications eingereicht.Kapitel 5 befasst sich mit der Existenz und der Klassizierung von tight Mengen der hyperbolischen Quadrik. Die Ergebnisse hierzu sind bei Designs, Codes and Cryptography veröffentlicht. In Kapitel 5 wird außerdem bewiesen, dass keine (q+1)-tight Mengen der Klein-Quadrik für ungerade Primzahlen q existieren.