Brechungsindexmodi�kation von PMMA mittels Femtosekundenlaserpulsen Inauguraldissertation zur Erlangung des Doktorgrades der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.) von Tobias Lind geboren am 26. September 1985 in Lich August 2018 betreut durch Prof. Dr. Peter J.Klar Prof. Dr. Thomas Sure I. Physikalisches Institut AG Mikro- und Nano- strukturphysik Justus�Liebig�Universität Gieÿen Institut für Optik und Mikrosysteme Technische Hochschule Mittelhessen Abstract Due to high intensities of ultra short laser pulses, it is possible to use them for modi�cation of the refraction index of PMMA. This theory led to the idea of reducing the abberation of optical components. In a �rst step, the component has to be examined with an interferomter. In a next step, the ne- gative of the found abberation, of the interference fringes from the optimum, are written on a PMMA disc by modifying the refractrive index. Combining the disc and the optical component should lead to an improvement of the interference pattern. Object of this dissertation was to develop a process for the modi�cation of the refractive index by ultra short laser pulses while ex- amining these modi�cations at the same time. Therefore, an experimental setup consisting of two parts was built. With the �rst part, a modi�cation of the PMMA disc with an accuracy of a micrometer was possible. The main constituent of the second part of the experimental setup, for the detection of the modi�cations, was an interferometer. It is possible to detect the resulting optical path di�erences. These di�erences were then analyzed by a software. Through proper arrangement of both parts of the experimental setup, it is possible to modify and analyse the material at the same time. After a successfull test of the setup it was attempted to modify the refracti- ve index with di�erent parameters. In the �rst experimental series with low repetition rates of the laser, a scanning method was used. In the process a volume of 100µm×100µm×100µm was scanned in a meandering fashion. Because of lack of change in the refractive index, the system was changed to a point by point method. In this setup, every single spot in the volume was irradiated for a given time, through which it was possible to control the energy input for every spot. Even with this mode, no change was detected. For the last experimental series the pulse repetition rate was increased to 76MHz. However in this mode the refractive index was changed by thermal destruction of the material. It remains to be noted, that there was no breakthrough for the correction of optical components by ultra short laser pulses. The cause of the failed experiments with low repetition rates can be traced back to low intensities of the laser pulses. It has to be further investigated whether it is because of the low laser power or the losses in the experimental setup, why the experiments failed. 2 Zusammenfassung Durch die hohen Intensitäten von Femtosekundenlaserpulsen ist mit solchen Pulsen die gezielte Modi�kation des Brechungsindex von PMMA möglich. Dies führte zur Idee die Abbildungsfehler optischer Komponenten zu redu- zieren. Dafür muss die Komponente zunächst mittels Interferometer unter- sucht werden. Die detektierten Abweichungen des Streifenmusters vom Op- timum sollen anschlieÿend durch gezielte Modi�kation des Brechungsindex als Negativ in eine PMMA-Scheibe geschrieben werden. Eine anschlieÿende Kombination der optischen Komponente und der Scheibe soll so zu einer ver- besserten Abbildung führen. Ziel dieser Arbeit war es dabei einen Prozess zur Brechungsindexmodi�kation zu entwickeln, bei welchem gleichzeitig die verursachten Schäden detektiert werden können. Dazu wurde ein aus zwei Teilen bestehender Versuchsstand aufgebaut. Mit dem ersten Teil des Auf- baus war eine Mikrometer genaue Bearbeitung der PMMA-Scheiben möglich. Der Hauptbestandteil des Versuchsstands zur Detektion der Schäden besteht aus einem Interferometer, mit welchem die entstehenden Di�erenzen der op- tischen Weglängen detektiert werden können. Diese können dann von einer Software ausgewertet werden. Durch geschickte Anordnung der beiden Teile, konnten Bearbeitung und Untersuchung gleichzeitig statt�nden. Nach erfolgreichem Test der Anlage wurde anschlieÿend versucht mit ver- schiedenen Parametern eine gezielte Änderung des Brechungsindex zu errei- chen. Bei der ersten Versuchsreihe wurde ein scannendes Verfahren mit einer geringen Pulsfrequenz von 1 kH gewählt. Dabei wurde zunächst ein Volumen von 100µm×100µm×100µm mäanderförmig abgerastert. Mit diesem Ver- fahren konnte jedoch keine Änderung erzielt werden, so dass anschlieÿend jeder zu bearbeitende Punkt einzeln angefahren und bestrahlt wurde um die eingebrachte Energie zu erhöhen. Da auch mit diesem Verfahren keine Än- derung erzielt wurde, folgte eine Versuchsreihe mit hochfrequenter Pulsfolge (76MHz), welche zu Veränderungen des Brechungsindex durch thermische Zerstörung führte. Der erho�te Durchbruch zur Korrektur optischer Komponenten konnte somit in dieser Arbeit nicht erreicht werden. Die Ursache für die misslungenen Ver- suchsreihen mit niedriger Pulsfolge lassen sich auf zu niedrige Intensitäten zurückführen. Ob dies jedoch an der zu geringen Leistung des Lasers oder an Verlusten innerhalb des Aufbaus lag, konnte nicht geklärt werden. 3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Theoretische Grundlagen 5 2.1 Brechungsindex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2.1 Induzierte Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2.2 Besetzungsinversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.3 Resonator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.4 Linienbreite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.5 Modenkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.6 Fokussierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.7 Yb:KGW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Interferometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.1 Interferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.2 Twyman-Green-Interferometer . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4 Nichtlineare Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4.2 Frequenzverdopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4.3 Selbstfokussierung von Licht . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.4.4 Multiphotonen-Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.5 Laserinduzierte Schäden in Dielektrika mittels fs-Pulsen . . . . 40 2.5.1 Ein�uss der Pulslänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.5.2 Dominierende Prozesse im Kurzpuls-Bereich . . . . . . 43 2.5.3 Ein�uss der Repetitionsrate . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.5.4 Laserinduzierte Schäden in Polymethylmethacrylat . . 49 3 Versuchsaufbau und Untersuchungsmethode 52 3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2 Materialbearbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3 Materialuntersuchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3.2 Messverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.4 Zusammenführung der Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 1 4 Versuchsdurchführung 65 4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.2 Materialbearbeitung mit Einzelpulsen . . . . . . . . . . . . . . 65 4.2.1 Scannendes Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.2.2 Schrittweises Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.2.3 Frequenzverdopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.3 Materialbearbeitung mit hochfrequenten Pulsfolgen . . . . . . 73 4.3.1 Ein�uss der Bestrahlungszeiten . . . . . . . . . . . . . 74 4.3.2 Abhängigkeit der Eindringtiefe . . . . . . . . . . . . . 75 4.3.3 Variation der Intensität . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.3.4 Untersuchung des phasenschiebenden E�ekts . . . . . . 81 5 Zusammenfassung und Ausblick 87 Literatur 89 2 1 Einleitung Beginnend mit ersten Untersuchungen zur gezielten Schädigung optisch trans- parenter Materialien im Jahr 1994 [1], kam es in den folgenden Jahren zu einer rasanten Entwicklung im Bereich der Mikrostrukturierung solcher Materia- lien zur Herstellung photonischer Komponenten. Dabei wird Laserstrahlung mit sehr kurzen Pulsen in das Material fokussiert. Da die elektrische Feld- stärke der einzelnen Pulse dabei sehr groÿ ist, kommt es im Fokuspunkt zu Energiedichten, welche so hoch sind, dass es an dieser Stelle zu nichtlinea- ren Absorptionse�ekten kommt. Diese führen zu einer lokal sehr begrenzten mikroskopischen Modi�kation des Materials, was zu einer Änderung des Bre- chungsindex führen kann. Da diese intensitätsabhängigen E�ekte nur direkt im Fokuspunkt auftreten, kann mit dieser Methode frei innerhalb der zu be- arbeitenden Werkstücken gearbeitet werden, ohne umliegende Bereiche zu zerstören. Mit dieser Technik wurden in den vergangenen Jahren diverse Komponen- ten wie optische Wellenleiter [2], [3], [4], [5], optische Richtkoppler [6] oder Fresnel-Linsen [7], [8] in verschiedenen transparenten Materialien realisiert. Ausgehend von den gezeigten Möglichkeiten entwickelte sich die Idee durch die Modi�kation des Brechungsindex von PMMA eine Verbesserung der Ei- genschaften von optischen Komponenten, insbesondere Linsen, zu erreichen. Dabei sollen diese Linsen zunächst mit einem Interferometer auf Abbildungs- fehler untersucht werden. Anschlieÿend wird eine Kunststo�-Scheibe (PMMA) mit einem Femtosekundenlaser derart modi�ziert, dass der veränderte Bre- chungsindex zu einem Ausgleich des Abbildungsfehlers führt, sobald diese Scheibe anschlieÿend in der Pupillenebene der Linse montiert wird. Ziel dieser Arbeit ist es, den Grundstein für diese Anwendung zu legen. Dabei wird ein Versuchsstand zur Modi�zierung des Brechungsindex von PMMA aufgebaut. Es ist dabei nicht möglich, die in den zitierten Verö�entlichun- gen genutzten Parameter zu übernehmen, da es sich dabei teils um andere Materialsysteme, um andere Lasersysteme oder auch um eine andere Geome- trie der zu verursachenden Modi�kationen handelt. Deshalb ist es zunächst nötig, den gesamten Bearbeitungsprozess zu beherrschen und die geeigne- ten Parameter zu �nden, um zu den gewünschten Ergebnissen zu gelangen. Dabei werden verschiedene Modi des Lasers genutzt und die dabei auftreten- den Schädigungen und Modi�kationen der bearbeiteten Proben untersucht. Zudem wird neben dem Aufbau, zur Bearbeitung des Materials, eine in si- tu Methode zur Vermessung der verursachten Modi�kationen implementiert. Mit dieser auf Interferometrie beruhenden Technik ist es möglich, Verän- derungen des Brechungsindex schon während des Bearbeitungsprozesses zu beobachten und die Gröÿe dieser Modi�kation abzuschätzen. In der folgenden Arbeit werden zunächst die theoretischen Grundlagen zur Funktionsweise eines Kurzpulslasers gelegt. Anschlieÿend folgen die Grundla- gen der Interferometrie, welche zur Auswertung benötigt werden. Nach einem Überblick über die nichtlineare Optik und die für diese Arbeit benötigten E�ekte werden die theoretischen Grundlagen mit einer Diskussion über la- serinduzierte Schäden in Dielektrika beendet. Im dritten Kapitel erfolgt eine genaue Beschreibung des entwickelten Versuchsstandes, welcher genutzt wur- de, um die im vierten Kapitel beschriebenen Versuche durchzuführen. Dort erfolgt auch eine Diskussion der erzielten Ergebnisse. Abgeschlossen wird die- se Arbeit im fünften Kapitel mit einer Zusammenfassung der Ergebnisse und einem Ausblick. 4 M1 M2 Q P O R α1 α2 γ2 γ1 c 2 t c 1 t . Abbildung 1: Eine Welle tri�t aus einem Medium M1 kommend auf ein op- tisch dichteres Medium M2. Durch die unterschiedlichen Phasengeschwindig- keiten in den beiden Medien wird die Richtung der Welle geändert. 2 Theoretische Grundlagen 2.1 Brechungsindex Da das Ziel dieser Arbeit die Modi�kation des Brechungsindex ist, folgt zunächst eine Beschreibung dieser Materialeigenschaft. Der Brechungsindex lässt sich über das Brechungsgesetz nach Snellius de�nieren. Dafür wird eine ebene Welle betrachtet, welche von einem transparenten Medium in ein an- deres transparentes Medium übergeht. Dabei ändert sich, wie in Abbildung 1 zu sehen, die Ausbreitungsrichtung dieser Welle. Die aus dem Medium M1 kommende Welle tri�t unter dem Winkel γ1, zum Lot, auf die Grenz�äche und wird an dieser teilweise gebrochen. Dieser gebrochene Teil der Welle be- wegt sich in Medium M2 unter dem Winkel γ2 weiter. Es ist zu sehen, dass die Welle in M1 in einer Zeit t die Strecke c1t zurücklegt, während sie in M2 in der gleichen Zeit die Strecke c2t zurücklegt. c1 und c2 sind die Pha- sengeschwindigkeiten der Welle in den Medien 1 und 2. Daraus folgen die Verhältnisse 5 sinα1 = c1t OP (1) und sinα2 = c2t OP . (2) Diese beiden Gleichungen lassen sich gleichsetzen und es folgt sinα1 sinα2 = c1 c2 = n12. (3) Der Brechungsindex n12 gibt damit also das Verhältnis der Phasengeschwin- digkeiten der ebenen Welle in den verschiedenen Medien zueinander an. Der Übergang von Licht aus dem Vakuum in ein beliebiges Material ist als der absolute Brechungsindex1 n = c0 c (4) de�niert. c0 ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und c die Lichtgeschwin- digkeit im gewählten Medium. Eine Verknüpfung des Brechungsindex mit den Eigenschaften des untersuch- ten Materials erfolgt über die Wellengleichung des Lichts. Diese lässt sich aus den Maxwellgleichungen2 ~∇× ~E = −∂ ~B ∂t (5) und ~∇× ~B = µσ ~E + µε ∂ ~E ∂t (6) 1 [9], Seite 13 2 [10], Seite 1041 6 ableiten. Während Gleichung (5) zeigt, dass Änderungen der magnetischen Flussdichte zu einem elektrischen Wirbelfeld führen, zeigt Gleichung (6) dass elektrische Ströme zu einem magnetischen Wirbelfeld führen. Dabei sind µ die Permeabilität, σ die elektrische Leitfähigkeit und ε die Dielektrizitätskon- stante. Durch Bilden der zweiten Ableitungen der Ortsvariablen ∇×(∇× ~E) und ∇× (∇× ~B) ergeben sich für nichtleitendes Material die beiden Lösun- gen3 ~∇2 ~E − µε∂ 2 ~E ∂t2 = 0 (7) und ~∇2 ~B − µε∂ 2 ~B ∂t2 = 0. (8) Vergleicht man diese mit einer allgemeinen, von Ort und Zeit abhängigen physikalischen Welle, welche sich durch ein verlustfreies Medium bewegt und durch eine lineare homogene, partielle Di�erentialgleichung zweiter Ordnung4 der Form ∂2Ψ ∂x2 = 1 c2 ∂2Ψ ∂t2 (9) beschrieben werden kann, zeigt sich der Zusammenhang c = 1 √ εµ (10) mit der Phasengeschwindigkeit des Lichts c. Für den Brechungsindex führt dies zu n = c0 c = √ εrµrε0µ0√ ε0µ0 (11) n = √ εrµr. (12) 3 nach [10], Seite 1045 4 [10], Seite 23 f 7 Mit der elektrischen und magnetischen Feldkonstante ε0 und µ0 und den Ma- terialkonstanten εr und µr. Da für sichtbares Licht transparente Materialien im Normalfall nicht magnetisch sind, kann µr = 1 gesetzt werden und es ergibt sich ein direkter Zusammenhang zwischen dem Brechungsindex eines Materials und dessen Dielektrizitätskonstante mit n = √ εr. (13) Es ist zu beachten, dass die gezeigten Zusammenhänge noch keine Abhän- gigkeit des Brechungsindex von der Wellenlänge des Lichts5 berücksichtigen. Da während dieser Arbeit mit jeweils konstanten Wellenlängen gearbeitet wird, soll auf diese Thematik auch nicht näher eingegangen werden. Weiter- hin ist zu beachten, dass es sich bei dem Brechungsindex im Allgemeinen um eine komplexe Gröÿe handelt. Der imaginäre Anteil beschreibt dabei die Absorption. Auf diese soll im folgenden nicht näher eingegangen werden und bei folgenden Erwähnungen des Brechungsindex ist zu beachten, dass immer der Realteil gemeint ist. Eine andere Abhängigkeit liegt auch zwischen der Intensität des Lichts und dem Brechungsindex des Materials vor. Auf diesen Zusammenhang wird in Abschnitt 2.4.3 noch näher eingegangen. 2.2 Laser Voraussetzung für die in dieser Arbeit geplanten und durchgeführten Experi- mente ist die Nutzung von gepulster Laserstrahlung mit Pulslängen im Fem- tosekundenbereich. Die Funktionsweise eines Laser [11] [12] ("Light Ampli- �cation by Stimulated Emission of Radiation") beruht, wie der Name schon sagt, auf der Erzeugung und Verstärkung von Licht durch induzierte (im Englischen: Stimulated) Emission von Photonen. Hierbei wird die Wechsel- wirkung von Atomen mit elektromagnetischer Strahlung direkt genutzt. Die dafür verantwortlichen physikalischen Vorgänge, der prinzipielle Aufbau und die Funktionsweise eines Laser sollen deshalb in den folgenden Abschnitten näher betrachtet werden. 2.2.1 Induzierte Emission Legt man, Einsteins Argumentation [13] folgend, die quantenmechanische Theorie zu Grunde, be�nden sich die Moleküle eines Systems in diskreten 5 siehe [10], Seite 117 � 8 Zuständen Zi mit den dazugehörigen Energien εi. Betrachtet man nun die Moleküle eines Gases im Gleichgewicht, bei einer beliebigen Temperatur T , werden sich durchschnittlich Ni Moleküle pro Volumeneinheit in einem be- stimmten diskreten Zustand Zi be�nden, wobei die Aufteilung in die einzel- nen Zustände der Maxwell-Boltzmann-Verteilung Ni = p0e −εi/kBT (14) folgt. Dabei ist p0 eine temperaturabhängige Konstante und kB die Boltzmann- Konstante. Es ergibt sich für gröÿere Energien ein kleinerer Exponentialterm und damit eine kleinere Anzahl von Molekülen im entsprechenden Zustand. Bei niedrigen Temperaturen werden sich die meisten der Moleküle im Grund- zustand be�nden. Ni wird als Besetzungsdichte bezeichnet. Man betrachtet zwei Zustände Zm und Zn mit den dazugehörigen Energien εm und εn, wobei εm > εn gilt. Für ein Molekül ist es nun möglich durch die Absorption oder Emission der Energie (εm− εn) zwischen den Zuständen Zn und Zm zu wechseln. Die dabei absorbierte oder emittierte Strahlung in Form eines Photons hat dabei die Frequenz νmn = 1 h (εm − εn), wobei h das Plancksche Wirkungsquantum ist. Die Wahrscheinlichkeit dW , mit der das angeregte Molekül wieder in einen stabilen Zustand zurückkehrt, lässt sich mit dW = AnmdT (15) berechnen. Dabei ist Anm ein Proportionalitätsfaktor und dT die Zeit, inner- halb welcher es zum Übergang kommt. In der Regel wird sich das Molekül nur eine kurze Zeit in einem angeregten Zustand be�nden und dann durch die hier beschriebene und in Abbildung 2 dargestellte spontane Emission in einen stabilen Zustand zurückkehren. Neben dieser spontanen Emission exis- tiert jedoch noch ein weiterer für die Entwicklung des Laser entscheidender Prozess. Be�ndet sich ein Molekül in einem Strahlungsfeld mit einer spek- tralen Energiedichte ρ wird es mit einer Wahrscheinlichkeit von dW = Bm n ρdT (16) vom Zustand Zn in den Zustand Zm übergehen. Dieser Prozess wird als induzierte Absorption bezeichnet. Die Energiedichte kann man sich dabei als 9 Zn Zm ∆ε a) b) c) Abbildung 2: Schematische Darstellung der a) Absorption, b) spontanen Emission und c) induzierten Emission. Photonendichte mit der Frequenz νmn vorstellen. Zugleich kann es jedoch durch den Ein�uss des vorliegenden Feldes mit einer Wahrscheinlichkeit dW = Bn mρdT (17) zu einer induzierten Emission und damit zu einem Übergang eines angereg- ten Moleküls vom Zustand Zm in den Zustand Zn kommen. Dabei wechsel- wirkt ein ankommendes Photon, dessen Energie genau der Energiedi�erenz ∆ε = εm − εn entspricht, mit einem angeregten Molekül, welches dadurch in den Zustand Zn zurückfällt und dabei ein Photon abstrahlt welches, in Ener- gie, Phase, Richtung und Polarisation dem einfallenden Photon entspricht. Die Proportionalitätsfaktoren Bm n und Bn m bilden zusammen mit Anm die Einstein-Koe�zienten. Be�ndet sich das System im thermodynamischen Gleichgewicht und die in Gleichung (14) beschriebene Zustandsverteilung ist nicht gestört, müssen die Anzahl der Absorptions- und Emissionsprozesse im Gleichgewicht sein pne −εn kBTBm n ρ = pme −εm kBT (Bn mρ+ Anm). (18) Um die Bedingung zu erfüllen, dass bei gegen unendlich strebenden Tempe- raturen auch die Energiedichte ρ gegen unendlich strebt, muss die Relation 10 pnB m n = pmB n m (19) gelten [13]. Damit folgt aus Gleichung (18) ρ = Anm Bnm e εm−εn kBT ( pnB m n pmBnm )− 1 . (20) Ein Vergleich mit dem Planckschen Strahlungsgesetz [13] ρ = αν3 e hν kBT − 1 (21) zeigt, dass für die spontane und induzierte Emission Anm Bn m = αν3 (22) gilt. Dies zeigt zum einen, dass beide Gröÿen in einem proportionalen Ver- hältnis zueinander stehen, und zum anderen, dass für gröÿere Frequenzen der Anteil der spontanen Emission ansteigt. Aus den in diesem Abschnitt dargelegten Zusammenhängen lassen sich nun in den folgenden Abschnitten Schlüsse ziehen, welche Bedingungen erfüllt sein müssen, um einen funktionierenden Laser zu verwirklichen. 2.2.2 Besetzungsinversion Da nur die induzierte Emission zur Erzeugung von Photonen, welche in Ener- gie, Phase und Polarisation übereinstimmen, führt, muss dieser Prozess der dominierende im Vergleich zur spontanen Emission sein. Die Wahrscheinlich- keit einer induzierten Emission wird dabei in einem starken Strahlungsfeld, durch die Anwesenheit zahlreicher bereits emittierter Photonen ansteigen. Zudem ist aus Gleichung (22) ersichtlich, dass bei einer niedrigen Frequenz der Anteil der induzierten gegenüber dem der spontanen Emission gröÿer ist. Damit es zu einer Verstärkung des Lichts innerhalb des Systems kom- men kann, muss zudem die Voraussetzung erfüllt sein, dass die induzierte 11 Emission gröÿer als die Absorption innerhalb des Systems ist und es so zu einer positiven Erzeugungsrate von Photonen kommt. Die Änderungsrate der Photonendichte über die Zeit lässt sich mit dn(t) dt = AnmNm + ρ(Bn mNm −Bm n Nn) (23) darstellen. Vernachlässigt man wegen der ersten genannten Voraussetzung die spontane Emission und berücksichtigt Gleichung (19) entscheidet über die Zunahme oder Abnahme der Photonendichte alleine das Verhältnis der Besetzungsdichten zueinander dn(t) dt = ρBm n (Nm −Nn). (24) Ein positiver Wert für dn(t) dt führt zu einer Photonenzunahme und ein nega- tiver Wert zu einer Photonenabnahme innerhalb des Systems. Die in Glei- chung (14) eingeführte Maxwell-Boltzmann-Verteilung zeigt jedoch, dass im thermischen Gleichgewicht die energetisch niedrigeren Zustände eine höhere Besetzungsdichte vorweisen als höher energetische Zustände und es damit nur zu einer Abnahme der Photonen kommen kann. Es ist also notwendig, das System dauerhaft auÿerhalb des thermischen Gleichgewichts zu halten. Dies geschieht durch den Prozess des Pumpens. Dabei werden durch Anlegen eines äuÿeren Feldes die Moleküle durch geeignete Zufuhr von Energie kontinuier- lich in den Zustand Zm gehoben. Dabei können verschiedenste Mechanismen wie optisches Pumpen, elektrisches Pumpen oder chemisches Pumpen zur Anwendung kommen. Doch auch mithilfe eines Pumpmechanismus ist es bei dem bis jetzt genutzten Modell eines Zwei-Energieniveau-Schemas noch nicht möglich, den energetisch höheren Zustand stärker als den energetisch nied- rigeren Zustand zu besetzen. Wiederum Gleichung (19) zeigt, dass bei zwei Zuständen maximal eine gleichstarke Besetzung erreicht werden kann. Um eine Besetzungsinversion zu erreichen, die zu einer Verstärkung des Lichts nötig wäre, ist also mindestens ein drittes am Prozess beteiligtes Energie- niveau notwendig (siehe Abbildung 3). Handelt es sich bei Niveau Z2 um einen metastabilen Zustand, mit einer im Vergleich zu Z1 und Z3 langen Le- bensdauer τ , kann es zu einer Besetzungsinversion zwischen den Zuständen Z2 und Z1 kommen. Während des Pumprozesses werden dabei Moleküle von Niveau Z1 in Z3 angeregt. Findet nun ein Übergang auf Niveau Z2 schneller statt als die spontane Emission zurück nach Z1 und war der Pumpvorgang 12 Z1 Z2 Z3 Z4 a) b) Abbildung 3: a) Bei einem Drei-Niveau-Laser gehen die angeregten Elektro- nen schnell und nichtstrahlend in Zustand Z2 über. Von diesem gehen sie unter Emission eines Photons in Zustand Z1 über. b) Bei einem Vier-Niveau-Laser �ndet der strahlende Übergang zwischen Zu- stand Z2 und Zustand Z4 statt. stark genug, um mehr als die Hälfte der Moleküle aus Niveau Z1 anzure- gen, be�nden sich mehr Moleküle in Z2 als in Z1 und eine Lichtverstärkung durch Zunahme der Photonendichte ist möglich. Durch ein weiteres Niveau Z4 (siehe Abbildung 3) wird die Besetzungsinversion noch einfacher möglich. Bei einem solchen Vier-Niveau-System �ndet die Abregung von Z2 durch die induzierte Emission nicht ins Niveau Z1 statt sondern in ein energetisch dar- über liegendes Niveau Z4. Dieses ist nicht stabil und die Moleküle gehen sehr schnell von dort auf Niveau Z1 über. Durch diesen Vorgang liegt sofort ab Beginn des Pumpvorgangs eine Besetzungsinversion zwischen den Niveaus Z2 und Z4 vor und ein Laserprozess ist möglich. 13 2.2.3 Resonator Werden in einem Materialsystem, welches die vorher genannten Vorausset- zungen besitzt, durch einen Pumpvorgang Moleküle angeregt, �ndet zunächst spontane Emission in alle Richtungen statt. Entlang der Achse des Systems werden die erzeugten Photonen durch induzierte Emission weiter verstärkt. Doch diese Verstärkung ist bei den meisten Materialsystemen bei einem ein- fachen Durchgang durch das Material nicht stark genug, um eine intensive Strahlung zu erreichen. Daher wird das aktive Material zwischen zwei Spie- gel eingebracht. So läuft das in axialer Richtung emittierte Licht zwischen den Spiegeln hin und her und es kommt, wenn die Verstärkung gröÿer ist als die Verluste innerhalb des Systems, bei jedem Durchlauf zu einer Erhöhung der Intensität, bis sich ein Gleichgewicht von Verstärkung und Verlusten ein- stellt. Die Verluste des Systems ergeben sich dabei aus dem Re�exionsgrad der Spiegel und anderen E�ekten wie Beugung und Streuung. Dabei ist zu beachten, dass einer der Spiegel bewusst eine Re�exion von weniger als 100% besitzt, um den Strahl auszukoppeln. Damit sich innerhalb des Resonators eine stehende Welle ausbilden kann, muss die Länge des Resonators L dem ganzzahligen Vielfachen m der halben Wellenlänge λm des emittierten Lichts entsprechen. Aus L = m λm 2 (25) und unter Berücksichtigung von λ = c ν (26) folgt dann νm = mc 2L (27) mit c als Lichtgeschwindigkeit innerhalb des Mediums. Es existieren also viele longitudinale Resonatormoden mit der entsprechenden Frequenz νm mit dem Abstand νm+1 − νm = c 2L . (28) 14 laseraktives Medium Pump- energie ausgekoppelter Strahl Resonatorspiegel Abbildung 4: Durch den Pumpmechanismus und induzierte Emission erzeug- tes Licht läuft zwischen den Spiegeln des Resonators hin und her und wird bei jedem Durchlaufen des aktiven Lasermediums weiter verstärkt. Ein Teil dieser Strahlung wird durch einen nicht 100% re�ektierenden Spiegel ausge- koppelt. Damit ist nun neben dem aktiven Lasermedium und dem Pumpmechanismus die dritte wichtige Komponente zur Verwirklichung eines Lasers eingeführt (siehe Abbildung 4). 2.2.4 Linienbreite Bis jetzt wurde der Übergang zwischen zwei Niveaus als diskret angenom- men. Tatsächlich liegt jedoch eine Unschärfe der Energie und den sich daraus ergebenden Frequenzen des Lichts bei Übergängen vor, die über die Zeit- Energie-Unschärfe ∆Eτ ≈ h (29) nach Heisenberg [14] mit der mittleren Lebensdauer der Niveaus miteinan- der verknüpft sind. Diese Verteilung der Energien und daraus folgend auch der Frequenzen, lässt sich beschreiben, indem das angeregte Molekül als ein gedämpfter Oszillator der Form 15 x(t) = x0e −( γt 2 )cos(ω0t) (30) mit γ als Dämpfungsterm und ω0 als Kreisfrequenz angesehen wird. Durch eine Fouriertransformation dieser Gleichung lässt sich die Amplitude in Ab- hängigkeit der Frequenz berechnen A(ω) = x0√ 8π ( 1 i(ω − ω0) + γ 2 + 1 i(ω + ω0) + γ 2 ). (31) Damit ergibt sich für die reale Intensitätsverteilung statt einer δ-Funktion I(ω) = A(ω)A∗(ω) (32) ein Pro�l in Form einer Lorentzverteilung I(ω) = 1 2π γ (ω − ω0)2 + (γ 2 )2 . (33) Aus dieser Kurve ergibt sich die Halbwertsbreite ∆ω = γ welche dem rezipro- ken Wert der mittleren Lebensdauer τ entspricht. Diese wiederum ist direkt mit dem Einsteinkoe�zienten Anm für die spontane Emission gleichzusetzen. Neben der natürlichen Linienbreite tragen noch weitere E�ekte zur Verbrei- terung des Frequenzspektrums bei. Dabei wird zwischen homogenen und in- homogenen Linienverbreiterungen unterschieden. Aufgrund der zahlreichen verschiedenen möglichen Materialsysteme für Laser existieren auch sehr viele verschiedene Mechanismen, die zu diesen Verbreiterungen6 führen. Im Fol- genden soll nur auf die für den genutzten Festkörperlaser relevanten Prozesse eingegangen werden. Für homogene Linienverbreiterungen sorgen vor allem Wechselwirkungen mit dem Gitter für Störungen, die zu verkürzten Lebens- dauern führen. Dabei werden während des strahlenden Übergangs Phononen vom Gitter emittiert oder absorbiert, so dass das beim Prozess emittierte Photon eine entsprechend höhere oder niedrigere Frequenz besitzt [16]. Zu einer inhomogenen Verbreiterung in Festkörpern kommt es durch variierende 6 [15], Seiten 36 � 16 Ein�üsse des Kristallfeldes auf die laseraktiven Ionen. Ursache dafür können verschiedene Positionen der Ionen innerhalb des Kristallgitters, mit dadurch verschiedenen nächste-nachbar-Umgebungen oder verschiedenen Abständen zu den nächsten Nachbarn sein [16]. Als Folge dieser zusätzlichen E�ekte kann die resultierende Kurve der Intensität auch die Form einer Gauÿvertei- lung bekommen. Wird nun dieses kontinuierliche Frequenzspektrum mit den Resultaten des Kapitels 2.2.3 verknüpft, ergibt sich das in Abbildung 5 zu sehende Spektrum von einzelnen, voneinander unabhängigen Moden verschiedener Frequenzen. 2.2.5 Modenkopplung Die im vorherigen Abschnitt beschriebenen Moden bewegen sich nun un- abhängig voneinander und mit statistischen Phasenbeziehungen zueinander im Resonator hin und her. Zwischen diesen umherlaufenden Moden wird es durch Überlagerung, je nach Phasenlage; zu konstruktiver und destruktiver Interferenz kommen, wodurch es zu starken Schwankungen der Intensität kommt. Betrachtet man die Feldstärkeamplitude an einem Ort innerhalb ei- nes Resonators der Länge L, setzt sich diese aus der Summe N benachbarter Frequenzen7 νm zusammen E(t) = m0+(N−1)∑ m=m0 Emcos(2πνmt+ ϕm). (34) Berücksichtigung von νm = mc 2L aus Gleichung (27) und der Laufzeit innerhalb des Resonators mit T = 2L c ergibt E(t) = m0+(N−1)∑ m=m0 Emcos(2π t T + ϕm). (35) Für eine Phasenverschiebung ϕ = 0 und der Voraussetzung Em = E0 ergeben sich durch positive Interferenz einzelne Pulse mit maximaler Feldstärkeam- plitude, welche im Resonator umlaufen. In Abbildung 6 ist zu sehen, dass die zeitliche Länge dieser Pulse τ abhängig von der Anzahl involvierter Moden 7 [15], Seite 321 17 In te ns it ät Frequenz ν c 2L In te ns it ät In te ns it ät Frequenz ν Frequenz ν Frequenz ν ν0 a) b) c) Abbildung 5: a) Innerhalb des Resonators können sich mit einer Frequenz- di�erenz von c 2L stehende Wellen und somit axiale Moden ausbilden. b) Die Anzahl der entstehenden Moden ist durch die Linienbreite des Lasers be- grenzt. c) Eine Kombination dieser beiden Prozesse ergibt eine feste Anzahl von Moden, unterschiedlicher Intensität. 18 Abbildung 6: Durch eine höhere Anzahl umlaufender Moden bilden sich zeit- lich kurze Pulse heraus. N ist. Eine präzisere Verknüpfung zwischen der Pulsdauer und der Frequenz- breite δν (mit δν = δω 2π ) ergibt sich aus dem Puls-Bandbreiteprodukt τ∆ν ≥ K. (36) Diese Gleichung ergibt sich aus einer Fouriertransformation der zeitabhängi- gen Feldstärkeamplitude. Der Faktor K hängt dabei zum einen von der Form der Einhüllenden des entstandenen Pulses und zum anderen von der De�ni- tion der Länge eines Pulses ab. Diese kann beispielsweise abhängig von der Halbwertsbreite (FWHM) oder dem Abfall der Intensität auf 1 e2 der Ampli- tude angegeben werden. Für einen gauÿförmigen Puls und der Verwendung von FWHM beträgt der K-Faktor beispielsweise 0,44. Bei einer Linienbreite ∆ν und der in Gleichung (27) gefundenen Bedingung lässt sich die Gesamtzahl der im Puls vorliegenden Moden durch 19 N = ∆ν 2L c (37) bestimmen, woraus sich mittels Gleichung (36) die Pulslänge τ ≥ 2KL Nc (38) ergibt. Eine groÿe Linienbreite und einhergehend eine groÿe Anzahl von Mo- den führt also zu zeitlich sehr kurzen Pulsen. Zur Erzeugung von Pulsen im Bereich von Femtosekunden ist ein sehr breitbandig emittierendes Laserme- dium im Bereich von N > 105 Moden nötig. Zur Verwirklichung eines Kurzpulslasers muss die in diesem Abschnitt be- schriebene, statistisch auftretende Modenkopplung aktiv unterstützt werden. Dafür ist es notwendig, die im Resonator umlaufenden ungekoppelten Mo- den, also solche mit einer Phasenverschiebung, zu unterdrücken. Dafür stehen verschiedene Techniken zur Verfügung, welche sich in aktive und passive Mo- denkopplung einteilen lassen8. Die für Femtosekundenpulse geeigneten passi- ven Methoden nutzen dabei E�ekte aus, bei welchen die hohen Intensitäten der gekoppelten Moden ungestört im Resonator umlaufen können und somit durch den Laserprozess weiter verstärkt werden, während niedrigere Intensi- täten absorbiert (sättigende Absorber) oder durch Blenden abgeschirmt (zum Beispiel optische Kerr-Linse) werden. Auf den optischen Kerr-E�ekt wird als Beispiel für nichtlineare optische E�ekte in Abschnitt 2.4.3 kurz eingegangen. 2.2.6 Fokussierbarkeit Um die für nichtlineare optische E�ekte benötigten hohen Intensitäten des eingekoppelten Feldes zu erreichen, ist es notwendig, die aus dem Laser emit- tierten Strahlen auf einen Punkt zu fokussieren. Bei näherer Betrachtung ist die Gröÿe dieses Punktes auch bei einem Lasersystem, welches im Vergleich zu anderen Lichtquellen eine sehr groÿe Kohärenz und einen kleinen Ausbrei- tungswinkel des Lichts besitzt, durch Beugungse�ekte auf einen Minimalwert begrenzt. Zur Berechnung dieses Wertes muss neben den bisher betrachte- ten longitudinalen Moden auch die transversale Feldverteilung des Lasers betrachtet werden. Diese Verteilung ist abhängig vom Resonator und kann 8 siehe dazu [15], Seite 323 �. 20 durch das Lösen der Wellengleichung unter den durch die Form des Resona- tors festgelegten Randbedingungen berechnet werden. Es zeigt sich, dass es zur Ausbildung stabiler transversaler Moden verschiedener Ordnung kommt. Diese stehen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung des Lasers und werden als TEMmn-Moden bezeichnet (dabei steht TEM für "transverse electric and ma- gnetic"). Die Paramater m und n geben dabei die Anzahl der Knotenlinien an, welche sich in x- und y-Richtung ausbilden. In Abbildung 7 sind ver- schiedene Ordnungen dieser Moden zu sehen. Eine für viele Anwendungen geeignete und auch für diese Arbeit verwendete Strahlform ist die Grund- mode TEM00, welche keine Knotenlinien aufweist und im Querschnitt einer Gauÿkurve entspricht. Das entstehende Strahlpro�l9 kann durch E(r, z) = E0e −r2 w(z)2 e−ikze r2 2R , (39) als Lösung der Wellengleichung beschrieben werden. Der erste Term dieser Gleichung gibt die Amplitude der Feldstärke an. Dabei ist E0 ein Normie- rungsfaktor, r die radiale Strahlkoordinate und w der Strahldurchmesser an enntsprechender Stelle z in Ausbreitungsrichtung. Dies entspricht einer Gauÿ- verteilung und es zeigt sich für die Intensität als Quadrat der Feldamplitude für r = 0 das Maximum und eine Intensität von I(r) = I0 e2 für r = w. Der zweite Term beschreibt die Phase und der dritte Term den Ausbreitungsra- dius der Welle mit R als Krümmungsradius des Gauÿbündels. In z-Richtung ergibt sich damit das in Abbildung 8 zu sehende Ausbreitungspro�l mit einer Strahltaille w0 = zRλ π (40) bei z = 0. λ gibt die Wellenlänge des Lichts an und die Rayleighlänge zR beschreibt nach welcher Entfernung die Strahltaille um den Wert √ 2 zuge- nommen hat. Umformen dieser Gleichung nach der Rayleighlänge zR = w2 0π λ (41) 9 [17], Seite 152 21 Abbildung 7: Neben den longitudinalen Moden können sich auch verschie- dene transversale Moden ausbilden. Dabei bilden sich in x- und y-Richtung Knotenlinien aus. 22 w0 √ 2w0 2zR w(z) z Abbildung 8: Ausbreitungspro�l eines gauÿschen Strahls. Von einer Strahl- taille w0 an z = 0 ausgehend nimmt der Radius in Abhängigkeit von z zu. Die Rayleighlänge zR gibt an, wann der Radius sich auf √ 2w0 aufgeweitet hat. zeigt, dass eine gröÿere Strahltaille w0 zu einer kleineren Rayleighlänge und damit zu einer kleineren Divergenz des Strahlenbündels führt. Soll nun die Gröÿe der Strahltaille eines solchen Gauÿpro�ls nach dem Durch- gang durch eine Sammellinse mittels der geometrischen Optik beschrieben werden10, muss die Abbildungsgleichung 1 b = 1 g + 1 f (42) leicht angepasst werden. b entspricht hierbei der Bildweite, g der Gegen- standsweite und f der Brennweite der Linse. Da die Strecke g von der Linse nach links verläuft, ist diese Gröÿe negativ. Ausgehend von dieser Gleichung ergibt sich für die Transformation einer einfallenden Kugelwelle mit dem Ra- dius R1 = −g in eine Kugelwelle mit dem Radius R2 = −b die Gleichung 1 R2 = 1 R1 − 1 f . (43) Die Radien R sind für konkave Wellenfronten, von der Linse aus betrachtet, negativ. Zur Beschreibung eines Gauÿ-Strahls müssen die Parameter R1 und R2 nun durch die komplexen Strahlparameter 10 nach [15], Seite 234 � 23 z Sammellinse f f a a′ w′0 w0 Abbildung 9: Nach der Fokusierung eines gauÿschen Strahls durch eine Sam- mellinse ergibt sich eine neue Strahltaille w′0. q1 = a+ izR q2 = a′ + iz′R (44) ersetzt werden. a und a′ geben wie in Abbildung 9 zu sehen jeweils den Ab- stand von der Strahltaille zur Linse an, während zR und z′R die Rayleighlän- gen vor und nach der Linse beschreiben. Aus den Gleichungen (41), (43) und (44) folgt dann w′0 w0 = f√ (a− f)2 + z2R . (45) Nach Umformen dieser Gleichung nach w′0 und der Annahme, dass zR � (a− f) wegen der geringen Divergenz von Laserlicht gilt, ergibt sich für den minimalen Strahldurchmesser nach dem Linsendurchgang w′0 = λf πw0 . (46) Es zeigt sich, dass der minimale Strahldurchmesser einerseits von der Wel- lenlänge des Lasers abhängt und kleinere Wellenlängen eine bessere Foku- sierbarkeit ermöglichen und andererseits die Strahltaille des ankommenden Lichtbündels einen Ein�uss hat. Eine Strahlaufweitung des Laserlichts durch 24 ein Linsensystem vor der Fokussierung führt damit zu einem kleineren w′0. Bei der Fokussierung durch ein Objektiv bietet es sich an, diese neue Strahltaille in Abhängigkeit der Apertur anzugeben. Für diesen Ansatz muss jedoch die Näherung genutzt werden, dass das ankommende Licht eine ebene Wellen- front besitzt. Die Apertur ist dann durch NA = w0 f (47) de�niert. Daraus folgt für Gleichung (46) eine Strahltaille von w′0 = 2 π λ NA . (48) 2.2.7 Yb:KGW Bei dem für diese Arbeit verwendeten Lasersystem handelt es sich um einen Festkörperlaser mit einem Ytterbium-aktivierten Laserkristall. Der Einsatz von Ytterbium-Ionen als laseraktives Material hat zu einer ganzen Gruppe von Lasersystemen geführt [16], [18], [19] die sich in ihren spektroskopischen Eigenschaften leicht unterscheiden. Im vorliegenden Fall handelt es sich um ein Doppelwolframat der Form Yb:KGd(W4)2, welches unter dem Kürzel Yb:KGW geführt wird. Bei Ytterbium handelt es sich um das 70. Element des Periodensystems aus der Gruppe der Lanthanide. Die Elektronenstruktur11 des Elements ent- spricht [Xe]4f146s2 und es liegt in Verbindungen gewöhnlich als zweifach oder dreifach positiv geladenes Ion vor [16]. Für Yb+3 führt dies zur Kon�gu- ration [Xe]4f13 und somit zu einer bis auf ein Elektron gefüllten f-Schale. Dies führt zu einer relativ einfachen in Abbildung 10 dargestellten Nive- austruktur. Bei den dargestellten Niveaus handelt es sich um die für den Laserprozess relevanten Stark Multipletts F 7 2 und F 5 2 mit einem Abstand von etwa 1,24 eV [16], [19]. Der energetisch niedrigere F 7 2 Zustand ist da- bei in vier Level (0, 1, 2, 3) und F 5 2 in drei Level (0′, 1′, 2′) aufgespalten. Die geringen Energieunterschiede innerhalb der beiden Multipletts führen dazu, dass die einzelnen Level über die Boltzmann-Verteilung miteinander 11 [20], Seite 355 25 2F 5 2 2F 7 2 (2′) (1′) (0′) (3) (2) (1) (0) λ = 1030 nm Abbildung 10: Die Niveaustruktur eines Yb:KGW Laser ist relativ einfach. Aus dem F 7 2 Multiplett werden Elektronen in das F 5 2 Multiplett angeregt. Dort relaxieren diese strahlungsfrei in den Zustand F 5 2 (0'). Von diesem �ndet der strahlende Übergang statt. Dominierend ist dabei der Übergang mit einer Wellenlänge von λ = 1030 nm. 26 verknüpft sind. Wird dieses System mittels Laserdiode mit einer Wellen- länge von 900�980 nm angeregt, gehen die meisten der angeregten Moleküle schnell durch Intrabandübergänge in den, mit einer Lebensdauer von etwa einer Millisekunde [19], metastabilen Zustand F 5 2 (0') über. Von dort �ndet dann der strahlende Übergang in F 7 2 statt. Durch diese Prozesse entsteht trotz nur zwei vorhandener Multipletts ein "Quasi-Dreilevel-System". Der dominierende strahlende Übergang für Yb:KGW ist F 5 2 (0′) in F 7 2 (2) [19] mit einer daraus resultierenden Wellenlänge um 1030 nm. Die für Kurzpulslaser notwendige groÿe Frequenzbreite ergibt sich bei Yb:KGW überwiegend aus der in Abschnitt 2.2.4 erwähnten homogenen und inhomo- genen Linienverbreiterungsmechanismen. 2.3 Interferometrie Bei der Interferometrie handelt es sich um eine Messmethode, die auf der In- terferenz mehrerer Wellen basiert. Daher soll vor der näheren Beschreibung der Messmethode zunächst noch eine kurze allgemeine Betrachtung12 vor- angestellt werden. Anschlieÿend wird die Funktionsweise der Interferometrie am Beispiel eines Twyman-Green-Interferometers deutlich gemacht. 2.3.1 Interferenz Betrachtet werden sollen zwei ebene, monochromatische Wellen gleicher Fre- quenz ~E1 und ~E2, welche von zwei unterschiedlichen Quellen ausgehend im Raum überlappen. Die resultierende Intensität des Lichts ist gegeben als I = ~E2 = (E0 sin(ωt))2, (49) was dem zeitlichen Mittelwert des Quadrats der elektrischen Feldes (mit ei- ner Amplitude E0) entspricht. Diese kann mit gängigen Sensoren gemessen werden und wird auch als Bestrahlungsstärke bezeichnet. Da es sich in die- sem Fall um die Überlagerung zweier Feldstärken ~E1 und ~E2 handelt, ergibt sich das resultierende Quadrat wegen ~E2 = ( ~E1 + ~E2)( ~E1 + ~E2) (50) 12 nach [10], Seiten 628 � 27 zu ~E2 = ~E2 1 + ~E2 2 + 2 ~E1 ~E2. (51) Somit ergibt sich die Intensität zu I = I1 + I2 + 2I12. (52) Der letzte Ausdruck dieser Gleichung ist der sogenannte Interferenzterm. Eine genauere Betrachtung dieses Terms, unter der Annahme, dass die beiden Wellen parallel zueinander ausgerichtet sind und der Berücksichtigung einer Phase δ zwischen diesen beiden Wellen, führt zu I = I1 + I2 + √ I1I2 cos δ. (53) Die Intensität wird somit für Phasenunterschiede von ganzzahligen Vielfa- chen von 2π maximal und für ganzzahlige ungerade Vielfache von π minimal. 2.3.2 Twyman-Green-Interferometer Im Laufe der Zeit wurden viele verschiedene Typen von Interferometern ent- wickelt (siehe [21]), um verschiedenste Messaufgaben bewältigen zu können. Eines dieser Typen ist das im frühen 20. Jahrhundert entwickelte Twyman- Green-Interferometer, mit welchem die Qualität optischer Komponenten un- tersucht werden kann. Zudem lassen sich Änderungen des Brechungsindex messen wodurch es für den Zweck dieser Arbeit sehr gut geeignet ist. In Abbildung 11 ist der schematische Aufbau eines solchen Interferometers, wie es in leicht abgewandelter Form realisiert wurde, zu sehen. Als Licht- quelle dient ein Laser, der durch sein monochromatisches Licht und die groÿe Kohärenzlänge früher genutzten Weiÿlichtquellen weit überlegen ist. Durch eine erste Linse wird der divergierend aus einer Faser austretende Laserstrahl parallelisiert, wodurch sowohl ein geeigneter Strahldurchmesser als auch ei- ne ebene Wellenfront erreicht werden. Dieses Lichtbündel tri�t dann auf ei- ne Strahlteilerplatte und wird dort amplitudenspaltend aufgetrennt. Das re- �ektierte Lichtbündel L1 tri�t anschlieÿend auf einen verkippbar montierten Spiegel S1 und wird von diesem zurück zum Strahlteiler re�ektiert. Das trans- mittierte Lichtbündel L2 tri�t auf den fest montierten Spiegel S2 und läuft 28 S1 Probe StrahlteilerLinse 1 S2 K Linse 2 L1 L2 Laser Abbildung 11: Schematischer Aufbau eines Twyman-Green-Interferometers. von dort zurück zum Strahlteiler. Nach erneuter Transmission und Re�exion an diesem Bauteil überlagern sich die beiden Teilbündel nun interferierend sowohl in Richtung zurück zur Lichtquelle als auch in Richtung des Sensors K. Bei Bedarf be�ndet sich vor diesem noch eine Sammellinse, um das gesam- te Strahlenbündel auf den Sensor zu fokussieren. Handelt es sich bei diesem Sensor um einen Bildschirm, ist dann entsprechend Abschnitt 2.3 direkt ein Interferenzmuster zu sehen. Bei perfekt ausgerichteten Spiegeln wird es sich bei dem Bild um eine gleichmäÿig erhellte Fläche handeln. Die Helligkeit hängt dabei von der Di�erenz der optischen Weglängen (OPD) und der sich daraus ergebenden Phase zwischen den Bündeln L1 und L2 ab. Wird der justierbare Spiegel jedoch leicht verkippt, ändert sich die optische Weglänge des Lichtbündels L1 über seine gesamte Achse kontinuierlich und somit auch die OPD der interferierenden Lichtbündel. Auf dem Bildschirm zeigen sich dadurch die in Abbildung 12 zu sehenden, typischen Interferenzstreifen. Wird eine zu untersuchende optische Komponente in einen beiden der Strah- lengänge L1 oder L2 eingebracht, können aus den sich ergebenden Interfe- renzmustern Schlüsse auf vorliegende Fehler gezogen werden (siehe dazu zum Beispiel [22]). In dieser Arbeit handelt es sich bei der verwendeten Kompo- nente um eine planparallele Platte aus Polymethylacrylat, welche komplett in den Strahlengang eingebracht wird. Dadurch erzeugt sie eine zusätzliche 29 Abbildung 12: Ein leicht verkippter Spiegel führt bei einem Twyman-Green- Interferomter zu den typischen Interferenzstreifen. optische Weglängendi�erenz13 von OPD = 2(nPMMA − 1)d (54) mit der Dicke der Platte d und dem Brechungsindex des Materials nPMMA. Bei entsprechend guter Qualität der Probe wird das Interferenzmuster dadurch noch nicht gestört, da über die gesamte Fläche die OPD konstant ist. Eine lokale Änderung des Brechungsindex führt jedoch zu einer lokalen Änderun- gen der Lichtgeschwindigkeit und somit einer Phasenverschiebung des Lichts im Vergleich zu unveränderten Bereichen. Durch den sich ergebenden Sprung im Streifenmuster des Interferogramms ist die Brechungsindexänderung mit ∆n = OPD 2d (55) berechenbar. 13 [21], Seite 62 30 2.4 Nichtlineare Optik 2.4.1 Einführung Die Optik beschreibt die Ausbreitung von Licht und die Wechselwirkung des Lichts mit Materie sowie die sich daraus ergebende Modi�zierung optischer Eigenschaften dieser Materie durch Licht. Das Gebiet der nichtlinearen Op- tik beschäftigt sich dabei mit dem nichtlinearen Zusammenhang zwischen der Stärke des angelegten Feldes und der Antwort des Systems auf dieses. Ist die Frequenz eines angelegten elektromagnetischen Feldes hoch genug, kommt es auch bei elektrisch nichtleitenden Materialien zu einer Verschiebung der Ladungsträger und zur Ausbildung von Dipolmomenten innerhalb des Ma- terials, da die trägen Kernmassen dem angelegten Feld nicht mehr folgen können, während die Elektronen dazu noch in der Lage sind14. Beschreiben lässt sich das ausgebildete Dipolmoment in Abhängigkeit des elektrischen Feldes, im allgemeinen Fall, durch die Polarisation15 ~P (t) = ε0χ~E(t). (56) ε0 ist dabei die elektrische Feldkonstante und χ die Suszeptibilität des Ma- terials, welche als Proportionalitätsfaktor zwischen Polarisation und der an- gelegten Feldstärke ~E(t) dient. χ lässt sich zudem über χ = εr − 1 (57) beschreiben und kann durch Gleichung (13) direkt mit dem Brechungsindex verknüpft werden. Zur Beschreibung der nichtlinearen E�ekte ist jedoch eine Betrachtung der einzelnen Koe�zienten ~P (t) = ~P (t) + ~P (2)(t) + ~P (3)(t)... (58) notwendig. Nach Gleichung (56) lässt sich die Polarisation somit durch ~P (t) = ε0[χ (1) ~E(t) + χ(2) ~E2(t) + χ(3) ~E3(t) + ...] (59) 14 [23], Seite 18 15 [24], Seite 2 31 ω ω 2ωχ(2) Abbildung 13: Schematische Darstellung der Frequenzverdopplung. Während ein Teil der Strahlung mit der Frequenz ω durch das Material transmittiert wird, kommt es zusätzlich zur Emission von Strahlung doppelter Frequenz. beschreiben. χ(2) und χ(3) sind hierbei die Suszeptibilitäten der zweiten und dritten Ordnung. Die Gröÿenordnungen16 der einzelnen Ordnungen der Sus- zeptibilität (χ(1)∼1, χ(2)∼10−12 m V , χ(3)∼10−22 m2 V2 ) lassen erahnen, warum erst mit der Er�ndung des Laser und den damit ermöglichten hohen elek- trischen Feldstärken des Lichts eine experimentelle Bestätigung [25], [26] der schon früher vorhergesagten nichtlinearen E�ekte [27] erfolgen konnte. In den nächsten Abschnitten folgt eine Übersicht über die für diese Arbeit relevanten nichtlinearen optischen E�ekte. 2.4.2 Frequenzverdopplung Bei der, oft als SHG (Second Harmonic Generation) abgekürzten, Frequenz- verdopplung handelt es sich um einen Prozess, bei welchem durch Bestrah- lung eines transparenten Materials mit einem Laser, neben der Strahlung einer Frequenz ω zusätzlich eine Strahlung mit doppelter Frequenz entsteht. Eine schematische Darstellung des Prozesses ist in Abbildung 13 zu sehen. Aus quantenmechanischer Sicht betrachtet, �nden dabei sowohl die Vernich- tung zweier Photonen der Frequenz ω als auch die Entstehung eines Photons der Frequenz 2ω, wie in Abbildung 14 dargestellt, gleichzeitig in einem ein- zigen Prozess statt [27]. Das auf ein Medium tre�ende Laserlicht kann als Welle mit ~E = Ee−iωt (60) 16 [24], Seiten 50, 221 32 ω ω 2ω Abbildung 14: Eine Betrachtung der energetischen Übergänge bei der Fre- quenzverdopplung. Zwei Photonen regen gleichzeitig ein Elektron an, welches unter Austrahlung eines Photons doppelter Frequenz in den ursprünglichen Zustand übergeht. 33 beschrieben werden. Da es sich bei der Frequenzverdopplung um einen nicht- linearen Prozess zweiter Ordnung handelt, wird die nichtlineare Polarisation entsprechend Gleichung (59) durch ~P (2) = χ(2) ~E2(t) (61) dargestellt. Einsetzen von Gleichung (60) in Gleichung (61) und Ausrechnen des Ausdrucks führt zum neuen, aus zwei Termen bestehenden, Ausdruck für den nichtlinearen Anteil der Polarisation ~P (2) = 2ε0χ (2)EE∗︸ ︷︷ ︸ a + ε0χ (2)E2e−i2ωt︸ ︷︷ ︸ b . (62) Term a entspricht einem statischen optischen Feld, während in Term b zu erkennen ist, dass sich die Frequenz verdoppelt hat. Es ist zu beachten, dass für isotrope Materialsysteme und inversionssymme- trische Kristalle χ(2) = 0 ist und somit in solchen Systemen keine E�ekte zweiter Ordnung zu erwarten sind. Auch bei geeigneten Materialien ist das Herbeiführen einer nutzbaren Strah- lung mit doppelter Frequenz nicht ohne weiteres möglich. Da sich bei der Fortbewegung von Licht durch dichte Materie die entstehenden Elementar- wellen nur in Ausbreitungsrichtung konstruktiv überlagern17, muss das ent- stehende Signal phasengleich zum eingestrahlten Signal sein. Durch die Di- spersion entsteht jedoch ein Phasenunterschied zwischen den Phasen von Strahlung verschiedener Frequenzen und es muss eine Phasenanpassung vor- genommen werden, um bei Austritt aus dem Kristall ein messbares Signal zu erhalten. Abbildung 15 zeigt die Amplitude für verschiedene Phasenun- terschiede. Dies kann durch die Ausnutzung verschiedener Brechungsindices für verschiedene Ausrichtungen der Polarisation des E-Feldes zur optischen Achse des Kristalls, wie es in einigen nicht isotropen Kristallen vorkommt, geschehen. Durch passende Drehung des Kristalls zur Ausbreitungsrichtung des Laserstrahls kann so ein groÿer Teil der Strahlung umgewandelt werden. 2.4.3 Selbstfokussierung von Licht Für viele Materialien kann der Brechungsindex n über die Beziehung 17 [10], Seite 157 34 Abbildung 15: Das Wachstum des frequenzverdoppelten Signals in Abhän- gigkeit des Phasenunterschieds ∆S zum Eingangssignal. Bei perfekter Phase ∆S = 0 zwischen den beiden Strahlen steigt der Anteil des frequenzverdop- pelten Signals beim Durchlaufen des Kristalls an, während die Amplitude des Ursprungssignals dementsprechend kleiner wird. Der Parameter l ist eine charakteristische Interaktionslänge, nach welcher etwa 75 % der ankommen- den Energie umgewandelt wurde (nach [28]). n = n0 + 2n2|E(ω)|2 (63) beschrieben werden. n0 ist der aus Abschnitt 2.1 bekannte lineare Anteil und n2 eine Proportionalitätskonstante, welche angibt, wie stark sich der Brechungsindex mit steigender Intensität des eingekoppelten Feldes ändert. Um diesen nichtlinearen Prozess dritter Ordnung, der auch als optischer Kerr- E�ekt bezeichnet wird, über die Polarisation zu beschreiben, muss zunächst der nichtlineare Anteil dieser Polarisation betrachtet werden. Er ergibt sich zu18 P (3) = 3ε0χ (3)|E(ω)|2E(ω) (64) und damit folgt eine Gesamtpolarisation19 von 18 [24], Seite 13 19 [24], Seite 208 35 P (ω) = ε0χ (1)E(ω) + P (3) = ε0χ (1)E(ω) + 3ε0χ (3)|E(ω)|2E(ω). (65) Zur Vereinfachung erfolgt die Einführung der e�ektiven Suszeptibilität χe� = χ(1) + 3χ(3)|E(ω)|2 (66) und damit P (ω) = ε0χe�E(ω). (67) Über Gleichung (13) und das bekannte Verhältnis εr = 1 + χ (68) ergibt sich n2 = 1 + χe� (69) und daraus, mit den Gleichungen (63) und (66), folgend [n0 + 2n2|E(ω)|2]2 = 1 + χ(1) + 3χ(3)|E(ω)|2, (70) n2 0 + 4n0n2|E(ω)|2 + 4n2 2|E(ω)|4 = 1 + χ(1) + 3χ(3)|E(ω)|2. (71) Unter Berücksichtigung der Terme bis zur zweiten Ordnung lässt sich aus dieser Gleichung eine Relation zwischen den Brechungsindices und den Sus- zeptibilitäten n0 = √ 1 + χ(1) (72) und n2 = 3χ(3) 4n0 (73) 36 herstellen. Tri�t nun ein Laserstrahl mit gauÿschem Strahlpro�l und einem Strahldurch- messer ω0, wie in Abbildung 16 zu sehen, auf ein Material mit einem solchen positiven, nichtlinearen Brechungsindex, wird es zu einer Selbstfokusierung des Laserlichts kommen. Durch das Pro�l des Strahls bedingt ist die In- tensität I entlang der optischen Achse maximal und führt dort zu einem Brechungsindex n = n0 + n2I, (74) während am Rand des Strahls von einem linearen Brechungsindex n0 ausge- gangen werden kann. Dem Fermatschen Prinzip20 folgend müssen die opti- schen Weglängen ∫ n(~s)ds (75) der Strahlen einer Wellenfront gleich groÿ sein. Durch den niedrigeren Bre- chungsindex müssen die Randstrahlen also eine gröÿere Strecke s zurücklegen und es folgt (n0 + n2I)zfp = n0zfp cos θfp (76) mit dem Abstand von der Ober�äche des Materials bis zu Fokuspunkt ffp. Mit der Näherung cos θfp = 1− 1 2 θ2fp (77) lässt sich die Gleichung nun nach dem Winkel θfp = √ 2n2I n0 (78) 20 [10], Seiten 182-184 37 w0 zfp Θfp Abbildung 16: Schematische Darstellung der Selbstfokussierung eines Laser- strahls mit ausreichend groÿer Intensität in einem Material mit positivem n2. au�ösen. Während dieser E�ekt bei der Nutzung von Laserstrahlung mit hoher Intensität bei vielen Anwendungen eine störende und ungewollte Rol- le spielt, kann er auch gezielt genutzt werden. So dient er in Kurzpulslasern zur Modenkopplung, indem im Zusammenspiel mit einer Blende, umlaufende Moden mit niedriger Intensität abgeblockt werden, während sich überlagern- de Moden mit hoher Intensität fokussiert werden und so die Blende passieren können. 2.4.4 Multiphotonen-Absorption Ist die Energiedi�erenz zwischen dem Grundzustand eines Moleküls und dem ersten angeregten Zustand ∆E gröÿer als die Energie eines ankom- menden Photons E = hν wird dieses im Normalfall nicht absorbiert. Durch den nichtlinearen Prozess der Multiphotonen-Absorption [27] kann es jedoch trotzdem zu einer Anregung des Moleküls oder Festkörpers kommen. Da- bei wird im einfachsten Fall der Zwei-Photonen-Absorption, ein Elektron durch zwei Photonen gleichzeitig über einen virtuellen Zwischenzustand in einen energetisch höher liegenden Zustand angeregt. Im Allgemeinen gilt, dass die Absorptionsraten der einzelnen Prozesse proportional zu den ent- sprechenden imaginären Anteilen der Suszeptibilitäten sind (lineare Absorp- tionsrate ∝ χ(1), Zwei-Photonen-Absorptionsrate ∝ χ(3), Drei-Photonen- Absorptionsrate ∝ χ(5), ...)21. Da die Berechnung für höhere Ordnungen je- 21 [24], Seite 550 38 doch mühsam wird22, bietet sich für die Berechnung der Absorptionsraten ein anderer Ansatz an, welcher sich aus den Gesetzen der Quantenmecha- nik ergibt23. Mit diesem Ansatz ergeben sich, ausgehend von der linearen Absorption und erweiterbar auf beliebige höhere Ordnungen, die Absorpti- onsraten R(1) mg = |µmgE ~ |22πρf (ωmg = ω), (79) R(2) ng = | µnmµmgE 2 ~2(ωmg − ω) |22πρf (ωng = 2ω), (80) R(3) og = | µonµnmµmgE 3 ~3(ωng − 2ω)(ωmg − ω) |22πρf (ωog = 3ω), (81) R(4) pg = | µpoµonµnmµmgE 4 ~4(ωog − 3ω)(ωng − 2ω)(ωmg − ω) |22πρf (ωpg = 4ω) (82) (83) und so weiter. Diese sind von verschiedenen Faktoren abhängig. Dazu gehö- ren die Übergangsdipolmente µ welche proportional zu den Übergangswahr- scheinlichkeiten zwischen den einzelnen Zuständen (siehe Abbildung 17) sind, die Zustandsdichten ρf bei den entsprechenden Energien und die elektrische Feldstärke E. Für eine kürzere und anschaulichere Darstellung wird die In- tensität an Stelle der elektrischen Feldstärke genutzt und der übrige Teil der Gleichung als Wirkungsquerschnitt σ zusammengefasst, wodurch sich die Übergangsraten R(1) mg = σ(1) ng (ω)I (84) R(2) ng = σ(2) ng (ω)I2 (85) R(3) og = σ(3) og (ω)I3 (86) R(4) pg = σ(4) pg (ω)I4 (87) (88) ergeben. Da die Wirkungsquerschnitte für höhere Ordnungen von einer gröÿe- ren Anzahl verschiedener Übergangswahrscheinlichkeiten abhängen, werden 22 [24], Seiten 161 � 23 [24], Seiten 552 � 39 g m n o p ω ω ω ω Abbildung 17: Schematische Darstellung der Zustände und virtuellen Zwi- schenzustände bei der Multiphotonen-Absorption. die Wirkungsquerschnitte für Prozesse höherer Ordnung kleiner werden und es ist eine gröÿere Intensität notwendig, um den E�ekt nutzen zu können. Ist die Summe der Energie der absorbierten Photonen gröÿer als die Ioni- sationsenergie des Moleküls oder die Austrittsarbeit eines Festkörpers wird von Mehrphotonen-Ionisation gesprochen und die angeregten Elektronen sind nicht mehr gebunden, sondern quasi-frei. 2.5 Laserinduzierte Schäden in Dielektrika mittels fs- Pulsen Um die auftretenden Schäden des Materials besser zu verstehen und einen Überblick über benötigte Voraussetzungen für eine gezielte Veränderung des Brechungsindex in PMMA zu erlangen, soll in den folgenden Abschnitten der aktuelle Forschungsstand zusammengefasst werden. Dabei wird zunächst allgemein auf den Ein�uss der Pulslänge, den Ein�uss der Repititionsrate der Pulse aber auch auf zugrunde liegende Mechanismen für die Veränderungen eingegangen. Später folgt eine genauere Betrachtung für das in dieser Arbeit verwendete PMMA. 2.5.1 Ein�uss der Pulslänge Durch die Entwicklung von Kurzpulslasern wurden groÿe Fortschritte auf dem Feld der Materialbearbeitung von nichtleitenden transparenten Materia- lien erzielt. Doch schon vor dieser Entwicklung gab es Forschungsarbeiten zu laserinduzierten Schäden solcher Materialien [29], [30], [31], [32]. Durch fort- 40 schreitende Lasertechnologie konnte ein Zusammenhang zwischen der Länge von Laserpulsen und der benötigten Energie pro Fläche bis zum Eintreten von Schäden hergestellt werden [1], [33]. Dabei wurden für verschiedene transpa- rente Materialien sowohl die verwendeten Pulslängen als auch die Energie- dichten variiert und die Schwelle für Schäden im Material untersucht. Wie in Abbildung 18 zu sehen ist, besteht für Pulslängen Tp bis zu 20 ps ein direkter Zusammenhang zwischen Energiedichte bis zum Eintreten von Schäden und√ Tp. Mit einem Blick auf die Wärmeleitungsgleichung24 (ρ0C) ∂Tp ∂t − κ∇2T = 0 (89) unter Vernachlässigung einer Wärmequelle kann auch dort eine √ Tp Abhän- gigkeit gezeigt werden. Dabei sind (ρ0C) die spezi�sche Wärmekapazität und κ die thermische Wärmeleitfähigkeit. Unter der Annahme, dass ein Tempe- raturanstieg ∆T in einem Zeitintervall Tp, welches der Pulslänge entspricht, über eine Strecke L di�undiert, lässt sich auch hier eine T 1 2 p Abhängigkeit zeigen. Durch einige Vereinfachungen ergibt sich nämlich (ρ0C) ∆T Tp = κ ∆T L2 (90) und damit L = ( κ ρ0C TP ) 1 2 . (91) Durch einen näheren Blick auf die spezi�sche Wärmekapazität25 ρ0C = ∆Q V∆T (92) mit der zugeführten Wärme ∆Q und der dadurch verursachten Temperatur- änderung ∆T im Volumen V kann nun der direkte Zusammenhang zwischen 24 [10], Seite 547 25 nach [34], Seite 123 41 Abbildung 18: Zwischen der Wurzel der Pulslänge und der bis zum Auftre- ten von Schäden benötigten Energiedichte besteht für Pulse bis zu 20 ps ein direkter Zusammenhang [33]. der Energiedichte und der Pulsdauer TP gezeigt werden. Bei der zugeführten Wärme handelt es sich um die eingekoppelte Energie des Laser E, um den Temperaturanstieg von der Ausgangstemperatur bis zur Zerstörungsschwelle zu erreichen. Das dabei erwärmte Volumen beträgt 4 3 πL3. Die zur Zerstörung benötigte Energie lässt sich durch E = 4 3 πL3ρ0C∆T (93) bestimmen und die entsprechende Energiedichte ergibt sich somit zu E L2 = L 4 3 πρ0C∆T. (94) Unter Vernachlässigung der Konstanten gilt E L2 ∝ L (95) 42 und wegen Gleichung (91) damit auch E L2 ∝ T 1 2 P . (96) Damit zeigt sich zum einen, dass die Schwelle für auftretende Schäden in diesem Bereich von der Pulslänge abhängig ist. Zum anderen lässt sich dar- auf schlieÿen, dass in diesem Zeitbereich die auftretenden Schäden vor allem durch thermische E�ekte verursacht werden. Ab einer Schwelle von etwa 20 ps (siehe Abbildung 18) bricht diese Abhängigkeit auf und andere E�ekte domi- nieren. Neben den in Abbildung 18 gezeigten Dielektrika wurden für weitere transparente Materialien qualitativ ähnliche Ergebnisse gefunden, wobei die Werte der benötigten Energiedichten variieren. 2.5.2 Dominierende Prozesse im Kurzpuls-Bereich Verschiedene Arbeitsgruppen [35], [1], [36], [37], [38] haben sich mit den ver- antwortlichen Prozessen für Laserpulse unterhalb der 20 ps Marke beschäf- tigt. Dabei werden zur Modellierung der auftretenden Prozesse verschiedene Näherungen genutzt, doch der zu Grunde liegende Ansatz ist bei allen Arbei- ten derselbe. Durch Bestrahlung des Materials mit einem Laserpuls, werden Elektronen aus dem Valenzband in das Leitungsband angeregt. Übersteigt die freie Elektronendichte einen Schwellwert von etwa 1021 cm−3, bildet sich ein Plasma und es kommt in einem zweiten Schritt, innerhalb weniger Pikose- kunden, durch Elektron-Phononen Wechselwirkung zu einer Schädigung des Materials. Zur Anregung der Elektronen stehen zwei Prozesse zur Verfügung. Einer dieser Prozesse ist die in Abschnitt (2.4.4) beschriebene Multiphotonen- Absorption, der andere Prozess die Elektron-Elektron Stoÿionisation. Wäh- rend beim erstgenannten Prozess Elektronen durch die gleichzeitige Wech- selwirkung mit, je nach Gröÿe der Bandlücke variierend, mehreren Photonen wechselwirken und somit ins Leitungsband angehoben werden, übertragen bei der Stoÿionisation, wie in Abbildung 19 zu sehen, Elektronen des Leitungs- bands einen Teil ihrer Energie an Elektronen des Valenzbands und regen diese damit ins Leitungsband an. Für diesen Prozess müssen jedoch schon Initialelektronen im Leitungsband zur Verfügung stehen. Ist dies der Fall, kommt es zu einem lawinenartigen Anwachsen der Elektronendichte über die Zeit nach 43 Leitungsband ValenzbandMultiphotonen -Ionisation Stoÿ -Ionisation Abbildung 19: Die beiden dominierenden Prozesse zur Anregung von Elektro- nen ins Leitungsband sind die auf der linken Seite zu sehende Multiphotonen- Ionisation und die auf der rechten Seite zu sehende Stoÿionisation. ne(t) = n0(t)e gt. (97) In den Proportionalitätsfaktor g gehen dabei unter anderem die Stärke des angelegten Feldes und Materialeigenschaften ein. Beschrieben werden kann die insgesamt resultierende Elektronendichte ne allgemein mit einer Glei- chung (nach [37]) der Art ∂ne ∂t = η(E)ne − wPI(E). (98) Auf einen etwaigen Term für Verluste kann aufgrund der kurzen Pulsdauer verzichtet werden und des weiteren sind wPI die Rate der Photonenionisation in Abhängigkeit des elektrischen Feldes und η die Rate der Elektron-Elektron Stoÿionisation. Damit ergibt sich für die Elektronendichte in Abhängigkeit von der Zeit das in Abbildung 20 zu sehende Ergebnis. Die durchgezogene Linie zeigt die, durch Multiphotonen-Absorption und Sto- ÿionisation verursachte, wachsende Elektronendichte über der Zeit für einen 44 Abbildung 20: Entwicklung der Elektronendichte in Abhängigkeit von der Zeit, für einen Laserpuls der Länge 100 fs (aus [33]). Puls der Länge 100 fs (gestrichelte Linie). Da die Multiphotonen-Absorption stark intensitätsabhängig ist, tritt sie beim Peak des Pulses auf. Die gepunk- tete Linie berücksichtigt nur diesen Prozess und es ist zu erkennen, dass dieser bis zum Peak des Pulses dominant ist. Erst zu diesem Zeitpunkt beginnt die Stoÿionisation eine Rolle zu spielen und die endgültige Elektronendichte wird erst zu Ende des Pulses erreicht. Daraus lässt sich schlieÿen, dass durch den Prozess der Multiphotonen-Absorption erste frei Elektronen erzeugt werden, welche dann durch Stoÿionisation weitere Elektronen des Valenzbands anre- gen und somit zu der zur Schädigung nötigen hohen Elektronendichte füh- ren. Dieser qualitative Verlauf wird in allen analysierten Arbeiten bestätigt. Durch verschiedene Ansätzen zur Berechnung der Ionisationsraten kommt es jedoch zu unterschiedlichen Interpretationen, welcher Prozess ab welcher Pulslänge dominiert. Grundsätzlich gilt, dass die Multiphotonen-Absorption für kürzere Pulse überwiegt und für TP < 30 fs [33] der alleinig verantwortli- che Prozess ist. Mit steigender Pulsdauer nimmt der Anteil der Stoÿionisation dann zu. Die unterschiedlichen Ursachen für Schäden bei kurzen (< 20ps) oder langen (> 20ps) Laserpulsen führen auch zu einem Unterschied bei der räumlichen Ausdehnung der auftretenden Schäden. Da die Multiphotonen-Absorption 45 sehr stark intensitätsabhängig ist, �ndet sie nur im Peak des Pulses statt und es kommt nur in diesem Bereich zur Plasmabildung [39]. Da die Puls- dauer für thermische E�ekte zu kurz ist, bleiben auftretende Schäden auch auf diesen räumlichen Bereich beschränkt. Zu beachten ist, dass es sich bei den zitierten Arbeiten vor allem um Arbeiten mit verschiedenen Gläsern handelt. Die benötigten Energiedichten sind daher etwas höher als solche für PMMA. An den grundsätzlichen Mechanismen ändert sich jedoch zwischen den verschiedenen nichtleitenden Dielektrika nichts. 2.5.3 Ein�uss der Repetitionsrate Die im vorherigen Abschnitt diskutierten Experimente und Simulationen be- ziehen sich immer auf die Auswirkung einzelner bis hin zu weniger Pulse auf ein Dielektrikum. Dabei können, wie diskutiert, durch die kurze Zeitskala der Interaktion, thermische E�ekte durch Di�usion ausgeschlossen werden. Wird jedoch eine Repetitionsrate der wechselwirkenden Laserpulse berück- sichtigt [40], [41], kann sich dies ändern. Bei niedrigen Frequenzen kann davon ausgegangen werden, dass zwischen den einzelnen Pulsen die im letzten Ab- schnitt beschriebenen Prozesse statt�nden und der nachfolgende Puls wieder auf erkaltetes Material tri�t (siehe Abbildung 21). Das in Abbildung 22 zu sehende Ergebnis einer Berechnung der Temperatur von PMMA in Abhängig- keit der Laserfrequenz zeigt, dass für Frequenzen oberhalb eines Grenzwertes eine Wärmeakkumulation innerhalb des Materials auftritt. Zur Erklärung dieser Wärmeentwicklung wird die aus Gleichung (89) bekann- te Wärmeleitungsgleichung (ρ0C) ∂Tp ∂t − κ∇2T = 0 betrachtet. Nun wird eine Zeit τ angenommen, innerhalb welcher sich die neue Temperaturverteilung nach Auftre�en eines Laserpulses eingestellt hat26. Diese kann bestimmt werden, indem der erste Term der Gleichung durch (ρ0C)T1 τ und der zweite Teil durch κT1 R2 angenähert werden. Dabei entspricht 2R dem Durchmesser des Laserpulses. Es ergibt sich somit eine Antwortzeit des Systems von 26 [24], Seite 237 46 Abbildung 21: Ist der Abstand zwischen den einzelnen Pulsen groÿ genug, kommt es zu einer Abkühlung des Materials bis zur Ausgangstemperatur. Abbildung 22: Modellierung der Wärmeakkumulation in Abhängigkeit der Frequenz auftre�ender Pulse für PMMA bei einem Spotdurchmesser von 10µm. 47 Abbildung 23: Diese Aufnahme eines optischen Mikroskops zeigt die Gröÿe der verursachten Schäden in Abhängigkeit der Frequenz und Anzahl der Pulse [40]. τ ≈ ρ0CR 2 κ . (99) Für das in dieser Arbeit verwendete PMMA lässt sich diese Zeit mittels der im Datenblatt des Herstellers [42] angegebenen Materialeigenschaften (Wär- meleitfähigkeit κ: 0,19 W mK , spezi�sche Wärmekapazität C: 1,47 J gK , Dichte ρ: 1,19 g cm3 ) berechnen. Bei einem angenommenen Durchmesser von 10µm ergibt sich eine Zeit von τ ≈ 230µs und für einen stärker fokussierten Puls von 2µm Durchmesser eine Zeit von τ ≈ 10µs. Tri�t innerhalb dieser Zeit der nächste Puls auf das Ma- terial, kommt es dann zu einer Wärmeakkumulation. Durch die Erwärmung des Materials und die Di�usion der Wärme weg vom Fokus des Laserpul- ses, wird die Gröÿe der verursachte Schäden mit zunehmender Frequenz der Pulse und Länge der Bestrahlungsdauer zunehmen. Dies ist beispielhaft für Borsilikatglas in Abbildung 23 zu sehen. Es ist festzuhalten, dass die Bescha�enheit und Gröÿe der verursachten Schädigungen des bestrahlten Materials sowohl von der Länge der einzelnen Pulse als auch von der Frequenz, mit welcher diese auf das Material tre�en, abhängig sind. Es ist zu beachten, dass die in den letzten Abschnitten zitier- ten Arbeiten mit anderen Materialsystemen durchgeführt wurden und eine 48 Abbildung 24: a) Durch Reaktion von MMA mit einem Radikal bildet sich ein gröÿeres Radikal. b) Dieses wiederum reagiert mit dem nächsten MMA-Molekül und die Kette beginnt zu wachsen [43]. direkt Übertragung der Parameter für eigene Experimente an PMMA nicht möglich ist. 2.5.4 Laserinduzierte Schäden in Polymethylmethacrylat Bei dem in dieser Arbeit als Dielektrikum verwendeten Polymethylmetha- crylat (PMMA) handelt es sich um ein thermoplastisches, amorphes Polymer. Es wird aus dem Monomer Methacrylsäure (MMA) durch Kettenpolymeri- sation gewonnen. Der chemische Prozess der Kettenbildung ist in Abbildung 24 zu sehen. Dabei wird dem MMA ein Starterradikal beigemischt. Diese Substanzen rea- gieren miteinander und bilden ein neues Radikal, welches im nächsten Schritt mit einem anderen MMA-Molekül reagiert. Dadurch bilden sich lange Ver- bindungen (siehe Abbildung 25), bis es schlieÿlich zu einem Kettenabbruch kommt. Dies kann entweder durch das Aufeinandertre�en zweier Ketten oder die Reaktion der Kette mit einem weiteren Starterradikal geschehen. Die mittleren Längen der Polymerketten variieren dabei mit den gewählten Pa- rametern des Polymerisationsprozesses und die einzelnen Moleküle können 49 Abbildung 25: Durch die Polymerisation entstehen groÿe Polymethylmethacrylat-Moleküle [43]. molare Massen von 996.000 g mol [44], [45] erreichen. Durch seine hohe Lichtdurchlässigkeit27 von 92%, einer optischen Band- lücke von etwa 4,6 eV [44] und seine guten mechanischen Eigenschaften,wird es in einer Vielzahl von Bereichen eingesetzt. Darunter be�nden sich auch die Verwendung als Brillengläser, Linsen und Prismen. Der Brechungsindex beträgt 1,492 [42]. Auch im Bereich der Kurzpulslaser-Materialbearbeitung wurde es wegen seiner Eigenschaften schon erfolgreich eingesetzt, um Licht- leiter [47], [2], [3] und Fresnellinsen [8] herzustellen. Um die Brechungsindex- änderungen bei diesen Anwendungen besser zu verstehen und dies bei den eigenen Experimenten zu berücksichtigen, folgt ein Einblick in die Modi�ka- tionsmechanismen von PMMA. Dabei zeigt sich, dass die Veränderung des Brechungsindex ∆n auf einer Kombination aus Depolymerisation [45], [48] und Vernetzungse�ekten [48] beruht. Untersuchungen [45] der vorliegenden molaren Massen einer PMMA-Probe nach der Bestrahlung mit Femtosekunden-Pulsen zeigen, dass ein erhöhter Anteil an Molekülen niedrigerer molekularer Masse vorliegt (siehe Abbildung 26). Durch diesen Prozess entstehen zusätzliche Kettenenden an welchen C=C Doppelbindungen vorliegen. Mit einem Blick auf die Lorentz-Lorenz'sche Be- ziehung [49] zur Bestimmung der molaren Masse M , welche die Dichte (ρ) und den Brechungsindex (n) eines Sto�es miteinander in Beziehung setzen, kann daraus eine positive Veränderung des Brechungsindex abgeleitet wer- den. Die beiden Gröÿen sind dabei über die Gleichung 27 [46], Seite 337 50 Abbildung 26: Untersuchungen der molaren Massen vor und nach der Be- strahlung einer Probe zeigen einen erhöhten Anteil kürzerer Ketten [45]. N steht dabei für die Anzahl der Bestrahlungen des Materials. MR = n2 − 1 n2 + 2 M ρ (100) miteinander verknüpft, dabei gibt MR die molare Brechung an. Zu diesem Faktor tragen alle Bindungen und Gruppen eines Moleküls mit unterschied- lichen Beiträgen bei. Entstehen nun beim Aufbrechen der Ketten durch Dis- proportionierung C=C statt der vorherigen C-H Bindungen, erhöht sich die molare Brechung [48]. Nach Umstellen der Gleichung (100) nach dem Bre- chungsindex n = √ 1 + 2MRρ M 1− MRρ M (101) zeigt sich, dass dies zu einer positiven Änderung des Brechungsindex führt. Versuche zum thermischen Verfall [48] des mit Laser bestrahlten PMMA zeigen, dass es zu Vernetzungen der einzelnen Polymerketten kommt [50]. Diese lassen sich durch ihre erhöhte thermische Stabilität nachweisen. Durch den höheren Brechungsindex für vollständig vernetztes PMMA von 1,504 [48], lässt sich für Proben, welche durch Bestrahlung mit Kurzpulslasern teilweise vernetzt wurden, ein erhöhter Brechungsindex voraussagen. 51 3 Versuchsaufbau und Untersuchungsmethode 3.1 Einleitung Das Ziel dieser Arbeit lässt sich in zwei Abschnitte unterteilen: Die erste Aufgabe ist es, mittels Femtosekunden-Pulsen eine lokalisierte Brechungsin- dexänderung in einer PMMA-Platte herbeizuführen und diesen Prozess zu kontrollieren. Diese Änderungen sollen dabei jedoch nicht, wie in bisherigen Verö�entlichungen [2], [3], [51], [4], dazu dienen, einen optischen Wellenleiter herzustellen, stattdessen sollen PMMA-Platten so modi�ziert werden, dass damit eine Korrektur optischer Komponenten möglich wird. Beispielsweise kann eine Linse oder andere optische Komponente, wie in Abbildung 27 zu sehen, mittels Interferometer auf Abbildungsfehler untersucht werden. Im da- bei entstehenden Interferogramm sind Abweichungen von der perfekten Wel- lenfront zu erkennen. Durch das gezielte Ändern des Brechungsindex und der damit verursachten Veränderung der optischen Weglänge des Lichts in einer PMMA-Platte lässt sich ein Negativ dieser Abweichungen erzeugen. Durch anschlieÿendes Positionieren dieser Platte vor der Linse, könnte so der Abbil- dungsfehler minimiert werden. Dafür müssen die Modi�kationen im Vergleich zu den vorher zitierten Arbeiten nicht nur in einer Linie in das PMMA ge- schrieben werden, sondern die Änderungen müssen über zusammenhängende Flächen erzielt werden. Dafür ist der Aufbau eines Versuchsstandes nötig, mit welchem das Schreiben von 3D-Strukturen möglich ist. Das zweite Ziel dieser Arbeit ergibt sich aus der ersten Aufgabe. Es muss ein Messsystem umgesetzt werden, um die Änderungen des Brechungsindex währende derBearbeitung zu bestimmen. Dies geschieht über den Einsatz eines Interferometers, mit welchem die Änderungen der optischen Weglän- gen des Lichts durch das Material aufgezeigt und vermessen werden. Diese Methode bietet zum einen die benötigte Genauigkeit, um minimale Ände- rungen zu erkennen, und zum anderen wird die Möglichkeit gescha�en, ein In-situ-Messverfahren aufzubauen. Dies geschieht durch die Integration des Messaufbaus in den Bearbeitungsaufbau und soll in den folgenden Abschnit- ten näher erklärt werden. Daher erfolgen zunächst die genaue Beschreibung der beiden Teilsysteme im Einzelnen und anschlieÿend die Beschreibung der Kombination zum Gesamtsystem. 52 Abbildung 27: Interferogramm eines Mikroskopobjektives [22]. 3.2 Materialbearbeitung Die Aufgabe des Aufbaus ist es, die einzelnen Pulse des Lasers stark fokus- siert und mit einer hohen Genauigkeit in die Kunststo�proben einzubringen, so dass es an der gewünschten Stelle durch die hohen Intensitäten zu Schädi- gungen kommt, welche zu Veränderungen des Brechungsindex führen. Im folgenden Abschnitt wird nun eine genaue Beschreibung des verwirklichten Versuchsaufbaus inklusive der Parameter der zur Verfügung stehenden Ge- räte gegeben. In Abbildung 28 ist eine schematische Zeichnung des Aufbaus mit allen not- wendigen Komponenten zu sehen. Als Quelle für die Femtosekundenpulse dient ein Femtosekundenlaser des Modells FLINT der Firma Light Conver- sion. Dabei handelt es sich um einen Festkörperlaser mit einem Yb:KGW Kristall als aktivem Material (siehe Abschnitt 2.2.7). Daraus ergibt sich ei- ne Zentralwellenlänge von 1035nm. Die Repetitionsrate beträgt 76MHz mit einer durchschnittlichen Ausgangsleistung von bis zu 2,5Watt, woraus sich eine Pulsenergie von etwa 33 nJ ergibt. Die Pulslänge beträgt 83 fs und die transversale Feldverteilung (siehe Abschnitt 2.2.6) entspricht einem Gauÿ- pro�l. 53 P rob e Objektiv xyz-Stage T1 fs-LaserP Abbildung 28: Schematische Zeichnung des Aufbaus zur Materialbearbeitung. Die grundlegenden Komponenten sind dabei ein Kurzpulslaser (fs-Laser), ein Pulspicker (P) eine xyz-Plattform und ein Objektiv. Dazu kommt noch eine Strahlaufweitung (T1). Da eine Frequenz von 76MHz für einen Teil der geplanten Experimente zu groÿ ist, folgt hinter dem Laser ein elektrooptischer Pulspicker (P). Mit dieser Pockels-Zelle kann die Frequenz der Pulse von 1 kHz bis hinunter zu Einzel- pulsen geregelt werden. Höhere Frequenzen sind jedoch nicht möglich. Zudem dient der Pulspicker als Blende, mit welchem die Gesamtdauer der Pulsfol- ge gesteuert wird. Anschlieÿend folgt eine Strahlaufweitung, welche durch ein Galileo-Teleskop (T1) verwirklicht wird. Die Linsen der Strahlaufweitung können für die verschiedenen benutzten Objektive ausgetauscht werden, so dass der Durchmesser des Laserstrahls immer passend zur Apertur des Ob- jektives gewählt werden kann. Anschlieÿend muss das Objektiv so vor der fest verbauten PMMA-Probe in- stalliert werden, dass ein Verfahren in alle drei Raumrichtungen möglich ist. Dies wurde mit der in Abbildung 29 zu sehenden Konstruktion verwirklicht. Die Position der Probe ist dabei durch den Interferometer-Aufbau vorgege- ben, auf welchen im folgenden Abschnitt eingegangen wird. Das Laserlicht wird durch ein System aus Spiegeln auf die benötigte Arbeitshöhe gebracht und tri�t dort auf das Objektiv. Dieses gesamte System be�ndet sich auf einer Konstruktion aus Schienen, welche wiederum auf drei Mikrostelltischen verbaut sind. Diese durch DC-Motoren angetriebenen Tische besitzen Stell- wege von 15mm mit einer minimalen Schrittweite von 50 nm und einer ma- ximalen Verfahrgeschwindigkeit von 2mm pro Sekunde. Somit lässt sich der Brennpunkt des Objektives sehr zielgenau auf der PMMA-Probe platzieren. Das in der Grundkon�guration eingesetzte Objektiv ist für den Nah-Infrarot- Bereich konzipiert und liefert eine 50fache Vergröÿerung bei einer numeri- schen Apertur von 0,5 und einer Eintrittspupille von 4mm. Damit ist nach 54 Abbildung 29:Das Objektiv zur Fokussierung des Laserlichts ist auf einer xyz- Plattform angebracht. So lassen sich die fokussierten Laserpulse sehr genau (250 nm) in die rechts neben dem Objektiv montierte PMMA-Probe einbrin- gen. Gleichung (48) w′0 = 2 π λ NA eine Fokussierung der Laserpulse auf einen Durchmesser von etwa 2,6µm möglich. Mit der angegebenen Pulsenergie von etwa 33 nJ lässt sich mit die- sem Versuchsaufbau somit eine Energiedichte von 0, 622 J cm2 erreichen. In einer zweiten möglichen Kon�guration des Aufbaus wird ein optisch nicht- linearer Lithiumtriborat-Kristall (LBO) in den Strahlengang eingebracht und somit die Wellenlänge des Lichts mit einer E�zienz von etwa 20% halbiert (siehe Abschnitt 2.4.2). Für Licht dieser Wellenlänge steht ein Objektiv mit 40facher Vergröÿerung, einer Apertur von 0,65 und einer Eintrittspupille von 6,5mm zur Verfügung. Durch die kleinere Wellenlänge des Lichts ist eine bes- sere Fokussierung möglich und es kann ein Durchmesser der Fokussierung von etwa 1µm erreicht werden. Somit wird trotz der groÿen Verluste durch die Frequenzverdopplung eine höhere Energiedichte von 0,84 J cm2 erreicht. Damit können in beiden Kon�gurationen Energiedichten erreicht werden, welche in derselben Gröÿenordnung liegen wie die in anderen Verö�entlichungen ge- nutzten Energiedichten von 0,35 J cm2 [45], 0,446 J cm2 [48] oder 1 J cm2 [2]. 55 Abbildung 30: Die auf einen Durchmesser von 22mm zugeschnittenen PMMA-Proben lassen sich direkt in die genutzte Linos-Mikrobank Umgebung integrieren. Bei den zu bearbeitenden PMMA-Proben handelt es sich um kreisförmige Plexiglasscheiben mit einer Dicke von 2,5mm (Abbildung 30). Diese wurden vom liefernden Unternehmen auf einen Durchmesser von 22mm zugeschnit- ten, so dass sie sich in das, für den gesamten Aufbau verwendete, Linos- Mikrobank-System integrieren lassen. Bei einem anschlieÿenden Test wurde ein massiver PMMA-Block vor dem Objektiv aufgebaut. Der Abstand zwischen PMMA und Objektiv wurde so gewählt, dass der Brennpunkt sich eindeutig innerhalb des Materials be�ndet. Anschlieÿend wurde eine Kamera so platziert, dass von oben auf die Probe geblickt wird. Danach wurde unter Umgehung des Pulspickers für wenige Millisekunden die Blende des Laser geö�net. In Abbildung 31 ist der zeitliche Ablauf dieses Tests zu sehen. Nach Ö�nen der Blende ist das Nah-Infrarote Licht(NIR) des Laser zu erkennen. Nach kurzer Zeit ist ein erster E�ekt kurz hinter der Ober�äche des Materials zu sehen und wenige Millisekunden später kommt es zu einer Zerstörung des Materials. Dieser Schaden ist, wie in Abbildung 32 am Beispiel einer anderen Aufnahme zu sehen ist, bleibend. 56 a) b) c) d) Abbildung 31: Zeitliche Abfolge der Bestrahlung. a) Geschlossene Blende, b) Blende ist geö�net und der Laser tri�t auf das Material. c) Ein erster E�ekt ist zu erkennen. d) Das Material wird zerstört. Abbildung 32: Nach der Bestrahlung ist ein bleibender Schaden zu erkennen. 57 S1 Probe Strahlteiler Linse1 S2 K Laser T2 Abbildung 33: Schematische Zeichnung des aufgebauten Twyman-Green- Interferometers. 3.3 Materialuntersuchung 3.3.1 Aufbau Um die Brechungsindexänderungen des PMMA zu detektieren und zu ver- messen, wird eine Variation eines Twyman-Green-Interferometers aufgebaut (siehe Abbildung 33). Diese unterscheidet sich in zwei Punkten von der in Abschnitt 2.3.2 beschriebenen Kon�guration. Zum einen wurde der zweite Spiegel S2 durch einen dichroitischen Filter ersetzt. Dieser Filter mit einer Dicke von 1,05mm re�ektiert Licht im Bereich von 450�790 nm, während er Licht mit einer gröÿeren Wellenlänge transmittiert. Die Transmission im wichtigen Bereich von 1035 nm beträgt dabei über 90%. Die zweite Änderung wurde vor dem Sensor vorgenommen. Während sich dort bei einem herkömmlichen Twyman-Green-Interferometer oftmals eine Sammellinse be�ndet, um das gesamte Interferogramm auf den Sensor abzu- bilden, wird in diesem Fall ein Kepler-Teleskop mit einer fünfachen Vergröÿe- rung installiert. Der Vorteil dieses Umbaus zeigt sich bei der Betrachtung des verwendeten Sensors. Dabei handelt es sich um eine µEye-Industriekamera mit einem 1,3 Megapixel CMOS Sensor. Die Au�ösung beträgt 1280× 1024 58 Pixel mit einer Bildwiederholungsrate von 10Hz. Die Gröÿe der einzelnen Pixel beträgt dabei 5,2µm. Wird nun von einer beschriebenen Fläche mit Kantenlängen von 50�100µm ausgegangen, wäre der zu erwartende E�ekt nur in einem Bereich von 10 bis 20 Pixel zu detektieren. Durch eine Ver- gröÿerung auf 50 bis 100 Pixel wird die Auswertung damit stark verbessert. Bei dem verwendeten Laser handelt es sich um einen grünen HeNe-Laser mit einer Wellenlänge von 543,5 nm. Der Laser wird mittels einer Faser ein- gekoppelt und das von dieser Punktlichtquelle unter einem Ö�nungswinkel ausgehende Licht wird anschlieÿend durch eine Sammellinse (Linse1) par- allelisiert. Damit ist der Durchmesser des Laserstrahls groÿ genug, um die gesamte zu untersuchende Probe auszuleuchten, und es kann davon ausge- gangen werden, dass eine ebene Wellenfront des Laserlichts vorliegt. An der Stelle S1 be�ndet sich ein Spiegel, welcher in drei Achsen justierbar montiert ist. Dadurch lässt sich die Verkippung einstellen und die Di�erenz der op- tischen Weglängen variieren. Somit kann die Anzahl der zu beobachtenden Maxima und Minima eingestellt werden, was wiederum einen Ein�uss auf die Detektierbarkeit der zu erwartenden E�ekte hat. Als Strahlteiler wird eine Strahlteilerplatte verwendet, welche das Licht in einem 50/50 Verhält- nis re�ektiert und transmittiert. Zusätzlich zur Antire�exbeschichtung wer- den unerwünschte Re�exionen durch eine leichte Keilform des Strahlteilers minimiert. In Abbildung 34 ist noch einmal der vollständige Interferometer- Aufbau zu sehen. Dieser wurde auf einer Lochplatte installiert, welche wie- derum auf einer schwingungsdämpfenden Plattform montiert wurde. 3.3.2 Messverfahren Zur Auswertung der aufgenommenen Kamerabilder wurde ein eigenes MAT- LAB Programm geschrieben. Wird dieses Programm separat betrieben, kön- nen damit zuvor gespeicherte Bilder eingelesen und ausgewertet werden. Zu- dem kann es aber auch in das in Abschnitt 4.2 beschriebene Programm inte- griert werden und damit während des Prozesses der Materialbearbeitung in situ Messergebnisse liefern. In beiden Fällen wird dafür zunächst ein Bild des mit der Kamera aufge- nommenen Interferenzmusters (siehe dazu Abbildung 35 und Abbildung 36) eingelesen. Bei der Kalibrierung des Interferometers ist darauf zu achten, dass die auf- 59 Abbildung 34: Blick von oben auf das aufgebaute Interferometer. Am rechten Bildrand sind die Halterungen für die PMMA-Probe und den dichroitischen Filter sowie das Objektiv zur Materialbearbeitung zu sehen. Abbildung 35: Ein zuvor mit der Kamera des Inter- ferometers aufgenommenes Bild wird in das Programm eingelesen. Abbildung 36: Zu Testzwe- cken wird in ein Interferenz- bild ein Streifen mit einer künstlich erzeugten Phasen- verschiebung von λ 10 einge- arbeitet. 60 Abbildung 37: Vor der Aus- wertung müssen die Daten zunächst geglättet werden. Abbildung 38: Die verscho- bene Phase ist eindeutig de- tektierbar. tretenden Streifen vertikal angeordnet sind. Dadurch kann jede einzelne Zeile des Bildes als ein eigenes Cosinus-Signal angesehen werden. Zudem ist dar- auf zu achten, dass die Anzahl der sichtbaren Streifen nicht zu groÿ gewählt wird, da sonst kleine Verschiebungen der Phase nur wenigen Pixeln entspre- chen und somit kaum noch zu erkennen sind. Zum Start der Auswertung wird ein Bild des mit der Kamera aufgenommenen Interferenzmusters einge- lesen (Abbildung 35). In dieses wurde jedoch zu Testzwecken ein Streifen mit künstlich erzeugter Phasenverschiebung eingearbeitet (siehe Abbildung 36). Bevor dieses Bild weiterverarbeitet werden kann, müssen die störenden Re�e- xe im Hintergrund beseitigt werden. Dazu werden die Daten jeder einzelnen Zeile geglättet und es ergibt sich das in Abbildung 37 zu sehende Bild. Da die Stellen mit destruktiver Interferenz schärfer und schmaler ausgeprägt sind als solche mit konstruktiver Interferenz, wird im folgenden Schritt die Position der Minima jeder einzelnen Zeile gesucht. Eine graphische Darstellung der gefundenen Minima des eingelesenen Bildes ist in Abbildung 38 zu sehen. Nun lässt sich der Abstand zweier Streifen genau bestimmen und auch die sich ergebende Phasenverschiebung ist klar zu erkennen und gut auswertbar. In diesem Fall wurde bei einem Abstand der Minima von etwa 250Pixeln zu- einander eine Verschiebung von 25Pixeln erzeugt. Es ist damit gezeigt, dass eine Änderung der optischen Weglänge von λ 10 noch eindeutig zu detektieren ist. 61 Abbildung 39: Durch die gewählte Anordnung kann die PMMA-Probe zeit- gleich von einer Seite bearbeitet werden, während sie von der anderen Seite mit dem Interferometer untersucht wird. 3.4 Zusammenführung der Systeme Nachdem in den zwei vorherigen Abschnitten die beiden Systeme zur Materi- albearbeitung und zur Detektion der verursachten Brechungsindexänderung vorgestellt wurden, soll nun kurz dargestellt werden, wie diese miteinander verknüpft wurden, um eine in situ Messung zu ermöglichen. In Abbildung 39 ist zu sehen, dass die Aufbauten so zueinander angeordnet werden kön- nen, dass die PMMA-Probe zeitgleich mit dem Laser bearbeitet und vom Interferometer untersucht werden kann. Ein näherer Blick auf die Schnittstelle (Abbildung 40) zeigt, dass die PMMA- Probe, in der linken Halterung, sehr nahe an dem dichroitischen Filter, in der rechten Halterung, positioniert werden kann. Von der anderen Seite ist durch die Mikrostelltische eine Positionierung des Objektives bis direkt an den Filter möglich. Durch den relativ groÿen Arbeitsabstand des zur Verfü- gung stehenden Objektives von mehreren Millimetern ist es nun möglich, die Laserpulse durch den Filter, welcher für die Wellenlänge 1035 nm transpa- rent ist, hindurch in die PMMA-Probe zu fokussieren. Das grüne Licht des Interferometers wiederum wird, nachdem es durch das Plexiglas gelaufen ist, re�ektiert. 62 Abbildung 40: Ein Blick von oben auf die Schnittstelle zwischen den beiden Komponenten des Gesamtaufbaus. Zum Abschluss und für einen Überblick ist in Abbildung 41 noch einmal eine schematische Zeichnung des gesamten Aufbaus inklusive der in den vorhe- rigen Zeichnungen benannten Komponenten zu sehen und in Abbildung 42 eine Aufnahme des Aufbaus. Dabei ist in der rechten oberen Ecke der Fem- tosekundenlaser zu sehen. Von dort laufen die Pulse auf der rechten Seite durch den Pulspicker und dann an der unteren Kante durch die Strahlauf- weitung. Nach dieser ist noch eine Filterkaskade zu sehen, mit welcher die Intensität der Pulse bei Bedarf reduziert werden kann. Danach folgt dann die xyz-Plattform mit integriertem Objektiv. In der linken oberen Ecke ist das auf einer Lochplatte aufgebaute Interferometer zu sehen, welches zusätzlich noch auf einer Schwingungsentkopplung montiert ist. 63 S1 Probe StrahlteilerLinse 1 S2 K Laser Objektiv xyz-Plattform T1 fs-Laser P PC T2 Abbildung 41: Schematische Zeichnung des kombinierten Aufbaus aus Mate- rialbearbeitung und Interferometer. Abbildung 42: Der gesamte Aufbau wurde auf einem passiv gedämpften opti- schen Tisch aufgebaut. 64 4 Versuchsdurchführung 4.1 Einleitung Nach der Installation des im vorherigen Abschnitts beschriebenen Versuchsauf- baus wurden im Folgenden verschiedene Versuchsreihen durchgeführt, um den Brechungsindex der PMMA-Proben gezielt zu verändern und dies auch mittels Interferometer zu überprüfen. Diese Versuchsreihen lassen sich in zwei verschiedene Ansätze einteilen. Zunächst wurde unter Verwendung des Pul- spickers eine geringe Frequenz der Pulse eingestellt, um die in Abschnitt 2.5.3 dargelegte Wärmeakkumulation zu vermeiden. Die erho�ten Änderun- gen sollten alleine durch die Prozesse der Multiphotonen-Absorption, Sto- ÿionisation und anschlieÿender stark lokalisierter Plasmabildung verursacht werden. Bei späteren Versuchen wurde der Oszillator in seiner Grundeinstel- lung genutzt. Durch die somit vorliegende Frequenz von 76MHz waren auch thermische E�ekte zu erwarten. 4.2 Materialbearbeitung mit Einzelpulsen Durch die eingestellte Frequenz der Femtosekunden-Pulse von einem Kilo- hertz ist, wie in Abschnitt 2.5.3 aufgezeigt, davon auszugehen, dass das Ma- terial in der Zeitspanne von der Interaktion mit einem Puls bis zur Ankunft des nächsten Pulses wieder vollständig abgekühlt ist. Somit kann von einer wiederholten Interaktion von Einzelpulsen ausgegangen werden. Für den Prozess der Materialbearbeitung wurde ein MATLAB-Programm geschrieben, mit welchem sowohl die Mikrostelltische als auch der Pulspi- cker angesteuert werden können. Die Steuerung der Stelltische ist dabei über direkte Befehle möglich. Zum Ansteuern des Pulspickers wird über eine AD- Wandlerkarte ein Triggersignal an dessen Steuerungseinheit gesendet und anhand dieses Signals die Pockelszelle für den gewünschten Zeitraum oder die gewünschte Anzahl von Pulsen aktiviert. Der erste Schritt nach dem Einbau einer jeden Probe ist die Kalibrierung des Versuchsstandes. Zur Orientierung sind in Abbildung 43 die Ausrichtung der Achsen der xyz-Plattform bezüglich der verbauten Probe zu sehen. Da- mit sich der Brennpunkt des Objektives während der Materialbearbeitung auch tatsächlich innerhalb der Probe be�ndet, muss zunächst für jede neu eingebaute Probe die Ober�äche gefunden werden. Dies ist notwendig, da die 65 x y z Abbildung 43: Die Laserpulse bewegen sich in Richtung der z-Achse und tref- fen frontal auf die Probe. Proben nur mit einer Genauigkeit von etwa 0,2mm in z-Richtung installiert werden können. Die Schwankungen beim Einbau der Proben sind somit grö- ÿer als die geplante Tiefe des Laserfokuspunktes, in welcher die Änderungen des Brechungsindex herbeigeführt werden sollen. Zum Finden der Ober�äche wird das Objektiv von einem ausreichend groÿen Abstand von der Probe lang- sam näher an diese herangefahren. Dabei wird ohne Pulspicker gearbeitet, so dass die volle Leistung des Lasers auf das Material tri�t. Das Interfero- gramm wird dabei nicht auf die Kamera sondern auf einen groÿen Bildschirm projiziert so dass die gesamte Probenober�äche abgebildet wird. Erreicht der Brennpunkt die Ober�äche, �ndet an dieser Stelle eine Zerstörung (siehe Abbildung 44) statt und die Blende des Laser wird geschlossen. Zusätzlich wird die Position des Motors als Referenzwert notiert. Anschlieÿend werden Fixpunkte (siehe Abbildung 45) in die Ober�äche geschrieben, um das Inter- ferenzbild (Durchmesser 30mm) so auf dem Kamerachip (6,6mm × 5,3mm) ausrichten zu können, dass der zu bearbeitende Teil sich im Bild be�ndet. Bevor die ersten Bearbeitungen durchgeführt werden können, erfolgt zu- nächst eine Abschätzung der zu erwartenden Änderungen, woraus sich das 66 Abbildung 44: Mikroskop- aufnahme des entstandenen Schadens an der Ober�ä- che bei maximaler Laserleis- tung. Die Länge des Kreuzes beträgt 50µm. Abbildung 45: Die Ober�ä- chenschäden der Fixpunkte sind im Interferogramm als dunkle Störungen im Hin- tergrund zu erkennen. zu bearbeitende Volumen ergibt, um detektierbare E�ekte zu erreichen. Mit Gleichung (55) ∆n = OPD 2d kann abgeschätzt werden, in welcher Dicke d entlang der z-Achse die Probe bearbeitet werden muss. Für ∆n wird dabei ein Wert von 4, 6 × 10−4 [2] angenommen. Ausgehend von einer angestrebten Änderung der optischen Weglänge von ODP = λ 10 = 54, 6 nm (102) muss die Brechungsindexänderung über eine Strecke in z-Richtung von etwa 60µm erreicht werden. Für eine erste Abschätzung, wie groÿ der Bereich in z-Richtung ist, in welcher bei einer Bestrahlung mit festem Objektiv eine Veränderung zu erwarten ist, wird die Rayleighlänge zR = w2 0π λ aus Gleichung (41) herangezogen. Diese beträgt bei einer Strahltaille von w0 = 1, 3µm und der Wellenlänge des genutzten Laser von λ = 1035nm et- wa 5µm. Dabei handelt es sich jedoch nur um einen groben Richtwert, da bei 67 dieser Länge die Intensität schon auf 80% abgefallen ist und dies eventuell nicht mehr ausreicht, um die nichtlinearen optischen Prozesse zu starten. Um eine Dicke von mindestens 60µm zu erreichen, müssen in z-Richtung mehrere Bearbeitungsschritte hintereinander durchgeführt werden. Dies wur- de erreicht, indem zunächst in der xy-Ebene eine Fläche beschrieben wurde und dann die z-Achse um einen Schritt versetzt wurde, um den Vorgang zu wiederholen. Die Beschreibung der Flächen wurde in zwei verschiedenen Varianten durchgeführt. 4.2.1 Scannendes Verfahren Beim zunächst durchgeführten, scannenden Verfahren wurde sich an den Ver- ö�entlichungen zur Herstellung von Lichtleitern [47], [2], [3] orientiert. Dabei wird der Laser mit einer festen Geschwindigkeit durch das Material geführt und modi�ziert dabei die Probe. In diesem Fall wird jedoch nicht nur ein ein- zelner Leiter geschrieben, sondern eine ganze Fläche wird mäanderförmig ab- gefahren (Abbildung 46). Für die Geschwindigkeit wurde ein Wert von 0,2 mm s gewählt und die Verfahrwege in x- und y-Richtung auf 100µm eingestellt. Durch die fün�ache Vergröÿerung des Interferometers sollte das modi�zierte Gebiet damit eine Fläche von etwa 100 × 100Pixel auf dem Kamerachip ein- nehmen und damit eindeutig identi�zierbar sein. Baum et al. [45] zeigen in ihrer Arbeit, dass durch wiederholtes Scannen der gleichen Stelle die Modi- �kation des Brechungsindex stark verbessert werden kann und Änderungen von ∆n = 4×10−3 erreicht werden können. Dieser Ansatz wird hier übernom- men und dieselbe Ebene dreimal abgefahren. Anschlieÿend erfolgt ein Schritt von 1µm in Richtung der Ober�äche und der Prozess beginnt erneut. Die Startwerte in z-Richtung wurden zwischen den einzelnen Versuchsreihen va- riiert, lagen jedoch mindestens 200µm unterhalb der Ober�äche. Die Schritt- gröÿe in z-Richtung wurde mit 1µm bewusst kleiner als die Rayleighlänge gehalten, um ein geschlossenes Volumen an modi�ziertem Material zu erhal- ten. Der Verfahrweg in dieser Richtung wurde variiert, meist jedoch so groÿ gewählt, dass die Bearbeitung bis hin zur Ober�äche stattfand. Das Inter- ferogramm wurde vor und nach der Bearbeitung aufgenommen und konnte während des Prozesses jederzeit über einen Bildschirm beobachtet werden. Bei der anschlieÿenden Analyse der Bilder konnte in keinem einzigen Fall eine Phasenverschiebung detektiert werden. Auch eine weitere Vergröÿerung des Interferogramms brachte keine Verbesserung, weshalb eine Änderung des 68 x y z Abbildung 46: Die zu beschreibende Fläche wird vom Objektiv mäanderför- mig abgefahren. Nach Beenden einer Ebene erfolgt ein Schritt in negativer z-Richtung und der Prozess beginnt erneut. 69 Bearbeitungsprozesses vorgenommen wurde. 4.2.2 Schrittweises Verfahren Das scannende Verfahren wurde im nächsten Schritt in ein schrittweise arbei- tendes System umgewandelt. Dabei wird nun jeder Punkt gezielt angefahren und für eine bestimmte Zeit bestrahlt. Dadurch kann die eingestrahlte Ener- gie sehr genau eingestellt werden. Der Abstand zwischen den Punkten wurde mit 1µm so gewählt, dass bei einem Spotdurchmesser von 2,6µm eine Über- schneidung der Punkte gegeben war. Da der zeitliche Aufwand bei dieser Methode durch das schrittweise Vorgehen stark ansteigt, musste das zu be- arbeitende Volumen verringert werden, indem die Strecke in x-Richtung auf 50µm, in y-Richtung auf 20µm und in z-Richtung auf 50µm reduziert wur- de. Zum Ausgleich dafür wurde die Vergröÿerung des Interferometers erhöht. Die Zeit pro Punkt betrug maximal 0,3 Sekunden. Doch auch mit dieser Me- thode war keine Veränderung im Interferogramm zu erkennen. Da die Qualität der Interferogramme durch Rauschen und ein, durch Vorder- und Rückseite der Probe verursachtes, zweites Interferenzmuster nicht opti- mal war, wurden die Proben anschlieÿend mit einem zweiten Interferometer untersucht, um auszuschlieÿen, dass der zu messende E�ekt durch die Stö- rungen nicht erkannt wurde. Dieses im Rahmen einer Master-Arbeit [52] aufgebaute Interferometer nutzt ein phasenschiebendes Verfahren28 zur Un- tersuchung der Wellenfront. Dabei wird eine Serie von Interferogrammen auf- genommen, während einer der beiden Spiegel verschoben wird, so dass sich die Referenzpha