On the limiting Pitman asymptotic relative efficiency of two Cramér-von Mises tests

Abstract

The Cramér-von Mises test is one of the classical goodness-of-fit tests, for simple as well as for composite null hypotheses. In the classical theory of independent and identically distributed data the corresponding test statistic is based on the empirical distribution function, which is well known to be the nonparametric maximum likelihood estimator of the underlying distribution function if this is completely unknown.In the presence of some nonparametric auxiliary information about the underlying distribution like a known mean, however, the nonparametric maximum likelihood estimator is a modified empirical distribution function, which puts random masses on the observations in order to take the additional information into account. Substituting this modified distribution function for the classical empirical distribution function in the Cramér-von Mises statistic thus yields a modified test statistic and hence two competing Cramér-von Mises tests.In this thesis the performance of these two tests is compared by means of their limiting Pitman asymptotic relative efficiency (ARE), which describes approximately the ratio of the minimal sample sizes needed with each of the tests to obtain a given power at a small significance level and under alternatives close to the null hypothesis.For independent and identically distributed centered observations the limiting Pitman ARE of the two Cramér-von Mises tests is derived for testing a simple null hypothesis as well as for testing the composite null hypothesis that the true distribution belongs to the scale family of a generalized normal distribution.Moreover, goodness-of-fit testing for the error distribution of stable autoregressive processes with independent and identically distributed centered errors is considered. In this case the classical Cramér-von Mises statistic is based on the empirical distribution function of the residuals as an estimator for the true error distribution function. As the underlying error distribution is centered, a residual empirical distribution function that incorporates this information can be constructed analogously to the case of independent and identically distributed centered data. Hence, by replacing the classical empirical distribution function of the residuals with this modified one we get a modified version of the Cramér-von Mises statistic again. As before, the corresponding Cramér-von Mises tests are compared with the help of their limiting Pitman ARE for testing a simple null hypothesis as well as for testing the composite null hypothesis mentioned above. Einer der klassischen Anpassungstests der Statistik ist der Cramér-von Mises Test, sowohl für eine einfache als auch für eine zusammengesetzte Hypothese. Im Fall von unabhängig und identisch verteilten Beobachtungen beruht die zugehörige Teststatistik dabei auf der klassischen empirischen Verteilungsfunktion, welche bekanntermaßen der nichtparametrische Maximum-Likelihood-Schätzer für die zugrunde liegende Verteilungsfunktion der Daten ist, sofern keine weiteren Informationen über diese vorliegen.Sind allerdings zusätzliche Informationen nichtparametrischer Art über die Datenverteilung vorhanden wie zum Beispiel ein bekannter Erwartungswert, so erhält man als nichtparametrischen Maximum-Likelihood-Schätzer eine modifizierte empirische Verteilungsfunktion, welche zufällige Massen auf die Beobachtungen legt und damit der Zusatzinformation Rechnung trägt. Wird nun in der Cramér-von Mises Statistik die klassische empirische Verteilungsfunktion durch ebenjene modifizierte Verteilungsfunktion ersetzt, ergibt sich eine modifizierte Teststatistik. Dem klassischen Cramér-von Mises Test steht somit bei vorhandenen Zusatzinformationen ein konkurrierender Test gegenüber.In der vorliegenden Arbeit werden diese zwei Cramér-von Mises Tests mithilfe der limiting Pitman asymptotic relative efficiency verglichen. Diese Größe gibt dabei das approximative Verhältnis der minimalen Stichprobenumfänge an, welche von den Tests jeweils benötigt werden, um eine vorgegebene Güte bei kleinem Signifikanzniveau und unter Alternativen nahe der Hypothese nicht mehr zu unterschreiten.Zum einen wird der Fall von unabhängig und identisch verteilten zentrierten Daten betrachtet. Hier werden sowohl die jeweiligen Cramér-von Mises Tests für eine einfache Hypothese verglichen als auch die entsprechenden Tests für die zusammengesetzte Hypothese, dass die Datenverteilung aus der Skalenfamilie einer verallgemeinerten Normalverteilung stammt.Außerdem wird das Testen der Fehlerverteilung bei stabilen autoregressiven Prozessen mit unabhängig und identisch verteilten zentrierten Fehlern untersucht. Die klassische Cramér-von Mises Statistik basiert in diesem Fall auf der empirischen Verteilungsfunktion der Residuen als Schätzer für die zugrunde liegende Fehlerverteilung. Analog zum Fall von unabhängig und identisch verteilten zentrierten Daten kann nun eine modifizierte empirische Verteilungsfunktion der Residuen konstruiert werden, welche die Modellvoraussetzung der Zentriertheit der Fehler berücksichtigt. Eine Substitution der empirischen Verteilungsfunktion der Residuen durch diese modifizierte empirische Verteilungsfunktion ergibt daher wieder eine modifizierte Cramér-von Mises Statistik und somit zwei konkurrierende Cramér-von Mises Tests. Zum Vergleich dieser beiden Tests für die Testprobleme der einfachen Hypothese und der oben genannten zusammengesetzten Hypothese wird auch hier wieder die jeweilige limiting Pitman asymptotic relative efficiency berechnet.