Critical point theory for symmetries with fixed points

Abstract

The aim of the work is to find critical points of a continuously differentiable function on a Banach manifold X, which ist invariant under the operation of a symmetry (compact Lie) group G. We suppose, there is a compact G-manifold M and a G-equivariant surjection from X onto M with a G-equivariant section, such that all fixed points of X are contained in the image of the section. Such situations occur in symmetric Lagrangian and Hamiltonian systems.The presence of fixed points renders the usual cohomological index theories (Benci, Fadell, Rabinowitz) useless. If the function is twice continuously differentiable, and if we suppose that the fixed point set consists of non-degenerate critical submanifolds, then the existence of one fixed point p with high Morse index implies the existence of further critical points outside the fixed point set and below the level f(p). The results remain valid for continuously differentiable functionals with appropriate modifications. The mulitplicity results are proved by means of products in Borel cohomology. In order to characterise critical points outside the fixed point set by Borel cohomology, we need certain "separating" cohomology classes that restrict to a non-zero class on p and to zero on the fixed point set below the level f(p). The smaller the degree of these classes the more critical points we find. Our work extends a method developed by T. Bartsch and Z. Q. Wang for even Hamiltonian systems on a torus or the cotangent space of a torus, and in many cases improves their multiplicity results. We apply our abstract theorems to T-periodic Lagrangian systems on compact Riemannian manifolds with a fibrewise convex Lagrangian, in order to prove the existence of T-periodic solutions. Under these conditions, the Lagrange functional in general is not twice continuously differentiable, yet a method by Abbondandolo and Schwarz still allows to characterise non-degenerate critical points by the Hessian. Gegenstand der Arbeit ist die Suche nach kritischen Punkten einer stetig differenzierbarer Funktion f auf einer Banach-Mannigfaltigkeit X, die invariant unter der Wirkung einer (kompakten Lie-) Symmetriegruppe G ist. Es gebe eine kompakte G-Mannigfaltigkeit M und eine G-äquivariante Surjektion von X auf M mit einem G-äquivarianten Schnitt, so dass sich alle Fixpunkte von X im Bild des Schnitts befinden. Solche Situationen treten bei symmetrischen Lagrangeschen und Hamiltonischen Systemen auf.Wir betrachten Fälle, in denen die Fixpunktmenge nicht leer ist, was die die Anwendung üblicher kohomologischer Indextheorien (Benci, Fadell, Rabinowitz) unmöglich macht. Ist die Funktion zweimal stetig differenzierbar und besteht die Fixpunktmenge aus nicht-ausgearteten kritischen Untermannigfaltigkeiten, so folgt aus der Existenz eines Fixpunkts p von großem Morse-Index die Existenz weiterer kritischer Punkte außerhalb der Fixpunktmenge und unterhalb des Niveaus f(p). Die Resultate gelten unter entsprechenden Voraussetzungen auch für stetig differenzierbare Funktionen. Die Multiplizitätsaussagen werden mit Hilfe von Produkten in der Borel-Kohomologie bewiesen. Um kritische Punkte außerhalb der Fixpunktmenge durch Borel-Kohomologie charakterisieren zu können, benötigen wir gewisse "trennende" Kohomologieklassen, deren Einschränkung auf p ungleich Null, deren Einschränkung auf den unter dem Niveau f(p) befindlichen Teil der Fixpunktmenge jedoch Null ist. Es lassen sich umso mehr kritische Punkte außerhalb der Fixpunktmenge finden, je kleiner der Grad einer solchen Klasse ist. Die Arbeit verallgemeinert eine Methode, die T. Bartsch und Z. Q. Wang für die Behandlung symmetrischer hamiltonischer Systeme auf Tori und Kotangentialräumen von Tori entwickelt haben, und liefert in vielen Fällen mehr kritische Punkte als die darin bewiesenen Sätze.Als Anwendung der Ergebnisse wird ein Satz über die Existenz T-periodischer Lösungen von T-periodischen symmetrischen Lagrangeschen Systemen mit faserweise konvexer Lagrange-Funktion auf einer kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit bewiesen. Das Lagrange-Funktional ist unter den betrachteten Bedingungen zwar nicht zweimal stetig differenzierbar, erlaubt aber die Charakterisierung nicht ausgearteter kritischer Punkte durch die Hessesche Form nach einer Methode von Abbondandolo und Schwarz.