Integrability of Moufang foundations : a contribution to the classification of twin buildings

Abstract

Buildings have been introduced by J. Tits in order to study semi-simple algebraic groups from a geometrical point of view. One of the most important results in the theory of buildings is the classification of irreducible spherical buildings of rank at least 3. About 25 years ago, M. Ronan and J. Tits defined the class of twin buildings, which generalize spherical buildings in a natural way. The motivation of their definition is provided by the theory of Kac-Moody groups.It is a (not completely trivial) fact that a twin building is uniquely determined by its local structure in almost all cases: The so-called foundation is the union of the rank 2 residues which contain an (arbitrary) chamber. In particular, the foundation is independent of the chosen chamber.Therefore, the classification of 2-spherical twin buildings reduces to the classification of all foundations which can be realized as the local structures of a twin building. We call such a foundation integrable. In order to determine the integrable foundations, one proceeds in two steps.Step 1: Exclude Non-Integrable FoundationsBy a result of Tits, an integrable foundation is Moufang, which means that the rank 2 buildings in the foundation are Moufang polygons, and that the glueings are compatible with the Moufang structures induced on the rank 1 residues.As a consequence, the classification of Moufang polygons and the solution of the isomorphism problem for Moufang sets are essential to work out which Moufang polygons fit together in order to form a foundation. Moreover, one can reduce the list of possibly integrable foundations by considering certain automorphisms of the twin building, the so-called Hua automorphisms, which are closely related to the double mu-maps of the appearing Moufang sets.Step 2: Existence / Integrability ProofFinally, one has to prove that each of the remaining candidates is in fact integrable, i.e., realized by a twin building, which is then unique up to isomorphism.Goals and Main ResultsThe present thesis contributes to establish complete lists of integrable foundations for certain types of diagrams, namely for simply laced diagrams and for 443 triangle diagrams. In this process, we closely follow the approach for the classification of spherical buildings. However, we have to refine the techniques used there, since in general, foundations don t only depend on the diagram and the defining field (which is an alternative division ring in the simply laced case). In order to make the different glueings visible, a crucial question is how to parametrize sequences of Moufang polygons, more precisely their root group sequences with the usual commutator relations.As mentioned above, excluding non-integrable foundations is closely related to the investigation of Moufang sets and their isomorphisms. Therefore, a large part deals with the introduction of underlying parameter systems and, in the sequel, with the solution of the isomorphism problem for Moufang sets. One of the main results in this context is the solution of the isomorphism problem for Moufang sets of pseudo-quadratic spaces. Moreover, many further questions have already been answered, but we need to refine and extend the existing results for our purposes and translate their proofs into our setup. Gebäude wurden von J. Tits eingeführt, um halbeinfache algebraische Gruppen von einen geometrischen Standpunkt aus zu untersuchen. Eines der wichtigsten Ergebnisse in der Gebäude-Theorie ist die Klassifikation der irreduziblen sphärischen Gebäude vom Rang mindestens 3. Motiviert durch die Theorie der Kac-Moody-Gruppen definierten M. Ronan und J. Tits vor 25 Jahren die Klasse der Zwillingsgebäude, eine natürliche Verallgemeinerung der sphärischen Gebäude.Es ist eine (nicht triviale) Tatsache, dass ein Zwillingsgebäude in der Regel bereits durch seine lokale Struktur, die sogenannten Foundation, eindeutig bestimmt ist. Hierbei handelt es sich um die Vereinigung aller Rang-2-Residuen um eine (beliebige) Kammer - die Foundation ist also insbesondere unabhängig von der Wahl der Kammer.Die Klassifikation der Zwillingsgebäude reduziert sich somit auf die Klassifikation aller Foundations, die als lokale Struktur eines Zwillingsgebäudes realisiert werden können. Wir nennen ein solches Fundament integrierbar. Bei der Bestimmung der integrierbaren Fundamente verfährt man in zwei Schritten.Schritt 1: Herausfiltern der nicht integrierbaren FundamenteEin Resultat von Tits besagt, dass ein integrierbares Fundament die Moufang-Eigenschaft besitzt, die Rang-2-Gebäude also Moufang-Polygone sind, deren Verklebungen mit den induzierten Moufang-Mengen auf den Rang-1-Residuen kompatibel sind.Als Folge dessen sind die Klassifikation der Moufang-Polygone und die Lösung des Isomorphie-Problems für Moufang-Mengen grundlegend bei der Untersuchung, welche Moufang-Polygone zu einem Fundament zusammengefügt werden können. Zudem kann man die Liste der möglicherweise integrierbaren Fundamente weiter einschränken, indem man bestimmte Automorphismen des Zwillingsgebäudes betrachtet, die sogenannten Hua-Automorphismen, die in einem engen Zusammenhang mit den Doppel-mu-Maps der auftauchenden Moufang-Mengen stehen.Schritt 2: Existenz- / Integrierbarkeits-BeweisSchließlich muss man beweisen, dass jeder der verbleibenden Kandidaten auch wirklich integrierbar ist. Das zugehörige Zwillingsgebäude ist dann bis auf Isomorphie eindeutig.Ziele und ErgebnisseDiese Arbeit widmet sich der Erstellung vollständiger Listen integrierbarer Fundamente für bestimmte Diagramm-Typen, nämlich für Diagramme mit einfachen Kanten und für 443-Dreiecks-Diagramme. Wir folgen hierbei dem Ansatz für die Klassifikation sphärischer Gebäude, wobei wir jedoch die dort verwendeten Techniken verfeinern müssen, da Fundamente im Allgemeinen nicht nur vom zugehörigen Diagramm und dem definierenden (Alternativ-) Körper abhängen. Ein wesentlicher Aspekt ist die passende Parametrisierung von Sequenzen von Moufang-Polygonen bzw. deren Wurzelgruppen-Sequenzen mit den zugehörigen Kommutator-Relationen, um die verschiedenen Verklebungen sichtbar zu machen.Wie bereits erwähnt, ist das Herausfiltern nicht integrierbarer Fundamente eng verknüpft mit der Betrachtung von Moufang-Mengen und deren Isomorphismen. Deshalb beschäftigt sich ein großer Teil dieser Arbeit mit der Einführung der zugrundeliegenden Parameter-Systeme und der Lösung des Isomorphie-Problems für Moufang-Mengen. Eines der Hauptresultate ist die Lösung des Isomorphie-Problems für Moufang-Mengen von pseudo-quadratischen Räumen. Viele weitere Probleme wurden darüber hinaus bereits gelöst, aber wir müssen die existierenden Ergebnisse für unsere Anforderungen sowohl verfeinern als auch erweitern und übersetzen deren Beweise in unser Setup.