Automorphisms of buildings

Abstract

This thesis discusses several aspects on automorphisms on (non-spherical) buildings. In particular, given a building automorphism theta, the set of Weyl displacements W theta of theta is of major interest. The Weyl displacements are the elements w of the underlying Weyl group W of a building beta which are the Weyl distance some chamber to its image. One motivation to work with this set is the Deligne-Lusztig theory, where the studied affine Deligne-Lusztig varieties are (chamber wise) level sets of a given displacement.As an introduction, we show W theta unequal W for any (non-type preserving) automorphism of an affine building. The same holds for any type-preserving automorphism of any non-spherical building. The general concept is to find suitable small subsets of chambers of a building on which theta gives us enough information to compute W theta}.The first result uses the Davis realization of buildings and and the induced action of theta on this CAT(0) space. We show that under certain conditions all displacements can be attained from the displacements of chambers which contain an element with minimal displacement. Examples are all automorphisms on Coxeter systems themselves, all automorphisms of buildings whose underlying Coxeter group is universal, as well as automorphisms of affine building fixing exactly one wall. We introduce the concept of tie trees which are tree structures on buildings. Given a tie tree T for which theta induces a tree automorphism, we obtain W theta once we have the displacements of all chambers associated to the vertices of T a minimal displacement. We only have to extend the computed displacements to all their theta-conjugates. A pretty large class of buildings admitting a non-trivial tie tree are all non-2-spherical buildings. A slightly weaker version of the result for tie trees allows us to study automorphisms fixing exactly one apartment and automorphisms of affine buildings preserving a wall tree.The last part of the thesis deals with the affine building associated to SLn(K) for a field K with discrete valuation. We discuss the action of GLn(K) on this building and derive a formula for computing delta(C,gC) for any chamber C and any element g in GLn(K). Using this result we present the code of a SAGE-program for exactly those computations. Ziel dieser Arbeit ist es, die Struktur von Gebäude-Automorphismen besser zu verstehen. Dazu wird insbesondere für einen Automorphismus theta auf einem Gebäude beta mit Weylgruppe W und Weylmetrik delta die Menge W theta untersucht. Dies ist die Menge aller Elemente der zugrundeliegenden Weylgruppe, welche Abstand von einer Kammer zu ihrem Bild sind. Wir bezeichnen die Elemente in W theta als Verschiebungsabstand (für theta). Es wird zuerst gezeigt, dass für Gebäude mit unendlicher irreduzibler Weylgruppe und typerhaltendem Automorphismus theta die Menge W theta nicht identisch mit W ist. Weiter wird auch gezeigt, dass W theta ungleich W gilt, falls theta ein Automorphismus eines affinen Gebäudes ist. Im darauffolgenden Teil wird mit der CAT(0)-Struktur von Gebäuden gearbeitet.Sei Mc (theta) die Menge der Verschiebungsabstände von Kammern, deren geometrische Realisierung einen Punkt enthält, der minimal verschoben wird. Wir zeigen, dass für jeden Automorphismus theta einer Coxetergruppe W die Weylverschiebungen genau die theta-Konjugate der Worte in Mc (theta) sind. Weiter wird eine Bedingung für Automorphismen von Gebäuden angegeben, unter welcher eine analoge Aussage für diese Automorphismen richtig ist.Im Anschluss werden Graphen definiert, welche eine Baumstruktur für ein Gebäude beschreiben. Wenn solch ein Graph (V,E) für ein Gebäude beta existiert und ein Automorphismus theta von beta auf diesen Baum operiert, so sei M die Menge der Kammern, die in Knoten von V liegen, die minimalen Abstand zu ihrem Bild haben. Dann entspricht die Menge W theta den theta-Konjugaten von Verschiebungsabständen von Kammern in M. Wir zeigen, dass für alle nicht-zwei-sphärischen Gebäude so ein Baum existiert. Ein Spezialfall von diesen Bäumen sind die Residuenbäume, für welche alle Knoten Residuen des Gebäudes sind und die ungerichteten Kanten den Inklusionen entsprechen. Wir zeigen, dass die Existenz eines Residuenbaumes für ein Coxetersystem (W,S) bereits die Existenz eines Residuenbaumes für jedes Gebäude vom Typ (W,S) impliziert.Im letzten Abschnitt der Arbeit wird die Struktur von affinen Gebäuden bzgl. der Gruppe SLn(K) für diskrete Bewertungskörper K beschrieben. Für solch ein Gebäude beta wird die Wirkung von GLn(K) auf beta analysiert. Wir beschreiben einen Algorithmus, welcher es ermöglicht, den Weylabstand von zwei Kammern zu bestimmen, wenn diese Kammern als Bilder der fundamentalen Kammer für zwei Matrizen in GLn(K) gegeben sind. Dieses Resultat ist die Grundlage für das im Anhang beschriebene Programm für Sage, mit dem Weylabstände von Kammern in beta berechnet werden können.