Wavelets und radiale Basisfunktionen mit Anwendungen in der Optionspreistheorie

Abstract

In dieser Arbeit geht es um die Konstruktion und Anwendung von radialen Basisfunktionen Wavelets auf aktuelle Fragestellungen der Optionspreistheorie. Dazu werden zunächst verallgemeinerte multiqaudric Prewavelets in einer Dimension konstruiert. Im Zusammenhang mit der Konstruktion von verallgemeinerten multiqaudric Prewavelets werden neue Eigenschaften der verallgemeinerten multiquadric radialen Basisfunktion hergeleitet. Die neuen Eigenschaften der verallgemeinerten multiquadric radialen Basisfunktion sind dabei nicht nur zentral bei der Konstruktion der Prewavelets, sondern ebenfalls notwendig für die anderen Teile dieser Arbeit. Im Anschluss an die Konstruktion der Prewavelets wird mithilfe der multiresolution Analysis eine Möglichkeit der Konstruktion von Wavelets aus radialen Basisfunktionen in einer bzw. zwei Dimensionen durchgeführt. Im Anschluss an die Herleitung der Konstruktionsmethode für RBF-Wavelets werden diese in einem eigenen Kapitel explizit konstruiert. Im dritten Teil der Arbeit werden sowohl die RBF-Wavelets als auch die neuen Eigenschaften der verallgemeinerten multiqaudric radialen Basisfunktion auf ein aktuelles Problem der Optionspreistheorie angewendet. Dabei wird eine semi-analytische Lösung der nichtlinearen partiellen Differentialgleichung aus Burgard und Kjaer (2011) konstruiert, wobei in diesem Zusammenhang eine neue Adomian-RBF-Wavelet Methode zur Lösung nichtlinearer partieller Differentialgleichungen eingeführt wird. Bei dem Ansatz von Burgard und Kjaer ist es möglich, dass sowohl der Emittent der Option als auch der Kontrahent während der Laufzeit ausfallen können. Im letzten Teil der Arbeit werden einige Beispiele im Zusammenhang mit der neuen Methode und dessen finanzökonomischen Auswirkungen auf die Optionspreistheorie betrachtet.