Martingalmethoden zur Berechnung von Überschreitungswahrscheinlichkeiten datenbasierter Sprungprozesse

Abstract

In der Theorie stochastischer Prozesse gilt die Doob-Meyer-Zerlegung für viele adaptierte Prozesse. Danach lässt sich solch ein Prozess als Summe eines Martingals und eines Kompensators schreiben. Nun lassen sich für Martingale (z.B. mit Hilfe von Stopptechniken) Überschreitungswahrscheinlichkeiten berechnen, welche beispielsweise bei der Herleitung kritischer Bereiche statistischer Tests Anwendung finden. Für Prozesse, die keine Martingale sind, sind derartige Überschreitungswahrscheinlichkeiten in der Regel sehr viel schwieriger oder gar nicht berechenbar. Daher ist es sinnvoll, solche Prozesse geschickt zu transformieren, sodass der transformierte Prozess wiederum ein Martingal ist.Abstract Ein bekanntes Beispiel derartiger sogenannter Martingaltransformationen sind solche von Brownschen Bewegungen. Die Doob-Meyer-Zerlegung wird hierbei durch Itôs Formel (Itô (1944)) geliefert. Betrachtet man eine Transformation von Zeit und Brownscher Bewegung, die stetig differenzierbar in der ersten Komponente - der Zeitkomponente - und zweimal stetig differenzierbar in der zweiten Komponente - der Ortskomponente - ist, so liefert Itôs Formel eine Darstellung des transformierten Prozesses, in welcher der Kompensator in Form eines Integrals auftaucht. Setzt man den Integranden des Kompensators gleich Null, so erhält man eine partielle Differentialgleichung für die Transformation. Da der transformierte Prozess für Lösungen dieser Differentialgleichung ein Martingal ist, spricht man von einer Martingaldifferentialgleichung.Abstract Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit (Martingal-)Transformationen der Empirischen Verteilungsfunktion. Es werden Doob-Meyer-Zerlegungen für Transformationen der Empirischen Verteilungsfunktion in Zeit und Ort vorgestellt und daraus eine Martingaldifferentialgleichung für die Empirische Verteilungsfunktion abgeleitet. Durch Lösen dieser Differentialgleichung ergeben sich u.a. bisher unbekannte Martingale. In einem weiteren Resultat wird gezeigt, dass die gefundenen Martingale die genannte Klasse von Martingalen bereits vollständig beschreiben. Ähnliche Ergebnisse für reverse Martingale werden im Anschluss vorgestellt.Abstract Mit den neu gewonnenen Martingalen werden schließlich Überschreitungswahrscheinlichkeiten für die Empirische Verteilungsfunktion und gewisse Transformationen berechnet. Die Eigenschaften der neu gewonnenen Martingale ermöglichen zudem Goodness-of-Fit-Tests im Fall von Typ-II-zensierten Daten, welche abschließend vorgestellt werden.

In the theory of stochastic processes the Doob-Meyer decomposition holds for many adapted processes. Accordingly such a process may be written as the sum of a martingale and a compensator. For martingales it is possible (e.g., by means of stopping techniques) to compute boundary crossing probabilites, which for instance are used to derive critical regions of statistical tests. For processes, which are not martingales, those kind of boundary crossing probabilities usually are much more difficult or even impossible to obtain. Therefore it is reasonable to transform the process in such a way, so that the transformed process is a martingale.Abstract Popular examples of such so called martingale transformations are those of Brownian motions. Here the Doob-Meyer decomposition is provided by Itô´s formula (Itô (1944)). Consider a transformation of time and a Brownian motion, which is continuously differentiable in the first component - the time component - and two times continuously differentiable in the second component - the space component. Then Itô´s formula gives a representation of the transformed process, which contains the compensator in form of a Lebesgue integral. Putting the integrand of the compensator equal to zero results in a partial differential equation for the transformation. Since the transformed process for a solution of this differential equation is a martingale, the equation is called martingale differential equation.Abstract This dissertation deals with (martingale) transformations of the empirical distribution function. Doob-Meyer decompositions of transformations of the empirical distribution function in time and space are presented, from which a martingal differential equation for the empirical distribution function is derived. By solving this differential equation previously unknown martingales are found. A further result shows, that the new-found martingales are sufficient to characterize the described class of martingales completely. Similar results for reverse martingales are presented subsequently.Abstract Based on the new-found martingales some boundary crossing probablilities for the empirical distribution function and certain transformations are derived. Furthermore the features of the new-found martingales finally allow goodness-of-fit tests for type-II-censored data.