Zur Theorie von Anpassungstests auf K-verteilte Marginalien von zweidimensionalen Zufallsfeldern mit Anwendung auf Radardaten

Abstract

Von Radaren mit synthetischer Apertur stammende Abbildungen von Ausschnitten der Erdoberfläche enthalten häufig verschiedene Arten von Clutter, also flächige Darstellungen natürlichen Untergrundes wie beispielsweise Wiese, Wald oder See. Bei der statistischen Analyse des Clutters sind die Marginalverteilungen von großem Interesse. Um die zwischen den Bildpixeln bestehenden Abhängigkeiten zu berücksichtigen, werden in dieser Arbeit homogene Cluttergebiete als zweidimensionale, stationäre, (m1,m2)-abhängige Zufallsfelder modelliert.Es werden Anpassungstests für die Marginalverteilungen (m1,m2)-abhängiger Zufallsfelder auf eine parametrische Verteilungsklasse mit Bootstrap-Quantilen konzipiert und die Verteilungskonvergenz des empirischen Prozesses mit geschätztem Parametervektor auf Datenebene bewiesen. Das dafür entwickelte parametrische Bootstrap-Verfahren basiert auf unabhängigen und identisch verteilten Blöcken. Diese Blöcke werden für die Modellierung der lokalen Abhängigkeiten innerhalb des (m1,m2)-abhängigen Zufallsfeldes benötigt, welche mithilfe von Copulas abgebildet werden. Dieser "Independent-Blocks-Bootstrap" bietet den Vorteil, dass annähernd der volle Datensatz verwendet wird, indem unabhängige Blöcke aus dem (m1,m2)-abhängigen Zufallsfeld extrahiert werden. Neben dem funktionalen Grenzwertsatz für den empirischen Prozess mit geschätztem Parametervektor für unabhängige Blöcke wird auch der entsprechende funktionale Grenzwertsatz für α-mischende Zufallsfelder bewiesen.Bei der Analyse von Radarbildern ist die parametrische Klasse der K-Verteilungen weit verbreitet, in der übrigen statistischen Literatur wird diese aber eher selten behandelt. Daher wird eine systematische Untersuchung dieser Klasse durchgeführt, in welcher neben der Herleitung von auf Momenten basierenden Punktschätzern für die Parameter der K-Verteilung auch deren asymptotische Normalität und Konsistenz gezeigt werden. Desweiteren werden die Regularitätsvoraussetzungen der beiden funktionalen Grenzwertsätze für die Klasse der K-Verteilungen nachgewiesen.Im Anschluss werden die entwickelten Anpassungstests mit Bootstrap-Quantilen auf K-verteilte Marginalien auf (1,1)-abhängige Datenmatrizen angewendet. Bei den Datenmatrizen handelt es sich zum einen um simulierte Zufallsfelder, zum anderen um Daten eines Radars mit synthetischer Apertur.

Images derived from synthetic aperture radars, showing parts of the surface of the earth, often contain different kinds of clutter. Clutter in this case is the echo of spatial extended natural environment like grassland, forest, or sea. In the statistical analysis of the clutter the marginal distributions are of great importance. To regard the dependencies that exist between pixels homogenous clutter areas in this thesis are modeled as two-dimensional, stationary, (m1,m2)-dependent random fields.Goodness-of-fit tests for marginal distribution of (m1,m2)-dependent random fields for a parametric class of probability distributions with bootstrap-quantiles are designed. In this context, it is shown that the empirical process with estimated parameters converges in law to a nontractable limit distribution. Therefore, a parametric bootstrap is developed, which is based upon independent and identically distributed blocks. These blocks are necessary to model the local dependencies of the (m1,m2)-dependent random field. Generating bootstrap-samples, copulas are used to reproduce these dependencies. This "independent-blocks-bootstrap" has the benefit of being able to use nearly the complete data by extracting independent blocks from the data matrix. In addition to the proof of the functional limit theorem for the empirical process with estimated parameters for independent blocks a functional limit theorem for α-mixing random fields is established.The parametric class of K-distributions is very popular in the analysis of radar images while elsewhere in the statistical literature there is little attention paid to this subject. Hence a systematic investigation of this class is carried out in which besides the derivation of moments-based point estimators for the parameters of the K-distribution also their asymptotical normality and consistency is verified. Furthermore, the regularity conditions of the class of K-distributions for the two functional limit theorems are proven.Finally the developed goodness-of-fit tests with bootstrap-quantiles for K-distributed marginals are applied to (1,1)-dependent data matrices. The tested matrices are on the one hand simulated random fields and on the other hand real data of a synthetic aperture radar.