Willkommen bei JLUpub
JLUpub ist das institutionelle Repositorium der Justus-Liebig-Universität.
JLUpub bietet Mitgliedern und Angehörigen der Universität die Möglichkeit neben wissenschaftlichen Dokumenten auch Forschungsdaten elektronisch zu veröffentlichen und dauerhaft zugänglich zu machen. Alle Veröffentlichungen erhalten einen Digital Object Identifier (DOI) und werden über nationale und internationale Bibliothekskataloge sowie Suchmaschinen nachgewiesen und auffindbar.
Neue Veröffentlichungen:
Hyperkomplexe Zahlen in Mathematik und Physik
(2023) Kafitz, Willi
Der Begriff „Hyperkomplexe Zahlen“ wurde von Emmy Noether geprägt, die wesentliche Beiträge zur Theorie geliefert und diese stark formalisiert hat. Der Begriff steht heute schon fast synonym für eine Algebra. Besonders interessant sind die vier Algebren, in denen es eine Division gibt. Nach einem Satz von Adolf Hurwitz, (1898), gibt es nur vier reelle, normierte Divisionsalgebren mit einem Einselement. Es sind die reellen Zahlen, die komplexen Zahlen, die Quaternionen und die Oktonionen. Wichtige physikalische Theorien des 20. Jahrhunderts können mit Quaternionen formuliert werden. Doch mindestens seit den1970-er Jahren stehen auch die Oktonionen im Fokus. Es gibt nicht vernachlässigbare Hinweise, unter anderem aus der Stringtheorie und Supersymmetrie. Sie könnten bei der Beschreibung des Standardmodells der Elementarteilchen helfen. Im Idealfall sollte sogar Physik a priori aus der Mathematik entwickelbar sein.
Null - Geschichte, Bedeutung und Verallgemeinerungen
(2023) Kafitz, Willi
Die Null als Symbol, als Ziffer und als Zahl, vor allem in einem Positionssystem, kann in nur wenigen frühen Kulturen eindeutig nachgewiesen werden. Dazu gehören eindeutig die Sumerer im Zweistromland, die Maya in Yucatan oder Guatemala und auch die Inkas in Südamerika. Doch das Verbreitungsgebiet der amerikanischen Völker war zu abgelegen. Ihr Einfluss reichte nicht aus, um ihr diesbezügliches Wissen in diesem Bereich weitergeben zu können. Dagegen war die geografische Lage der Inder wesentlich besser geeignet. Das soll ihre intellektuelle Leistung nicht schmälern. Ihr Dezimalsystem mit der Null war die fast perfekte Grundlage für heutiges Rechnen.
Bemerkenswert ist die Tatsache, dass die Kultur mit den erstaunlichsten mathematischen Leistungen, das antike Griechenland, die Null nicht kannte. Dagegen hat das islamische Arabien die indische Rechenmethode relativ rasch übernommen. Bis sie allerdings im christlichen Abendland über Kontakte mit dem maurischen Südspanien ankam, dauerte es noch viele Jahrhunderte. Die römischen Zahlen hielten sich trotz offensichtlicher Nachteile noch fast 1000 Jahre nach Entdeckung der Null und einem dezimalen Stellenwertsystem.
Heute ist die Null nicht nur beim internationalen Rechnen angekommen, sondern wird auch vielfach in mathematischen Verallgemeinerungen und darüber hinaus aufgegriffen. In der Mathematik ist es vor allem die abstrakte Algebra und Topologie. Andere Begriffe mit Bezug zur Null finden sich in Wirtschaftswissenschaften oder der Kartografie.
Zahlen - Geschichte, Bedeutung und Verallgemeinerung des Zahlbegriffes
(2023) Kafitz, Willi
Zahlen sind so alt wie es Menschen einer Entwicklungsstufe gibt, die entsprechend abstrahieren können und nur die Anzahl von Objekten als Gemeinsamkeit sehen. So endstand das Zählen und die natürlichen Zahlen. In frühen Hochkulturen wurde auch bereits intensiv mit Brüchen gerechnet. Negative Zahlen wurden jedoch teilweise bis ins 15. Jahrhundert vehement abgelehnt. Auch die Null taucht erst Mitte des ersten Jahrtausends nach Christus in Indien auf. Die Entdeckung von irrationalen Zahlen galt lange Zeit als erste Krise der antiken Mathematik. Das wird heute relativiert. Erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts wurde erkannt, dass durch alle reellen Zahlen ein lückenloses Kontinuum gebildet wird und somit der Stetigkeit eine konsistente Grundlage gegeben werden konnte. Die komplexen Zahlen schenkten der Mathematik eine bedeutende Erweiterung und erlaubten z.B. in der Funktionentheorie Sätze von großer Allgemeinheit, Tragweite und Ästhetik. Versuche zu Erweiterungen des Zahlbegriffes über die komplexen Zahlen hinaus mussten aber Einschränkungen hinnehmen. Diese Einschränkungen orientieren sich an der Systematik, die seit etwa 200 Jahren durch die Algebra begründet wurde. Es sind vielfältige Begriffe, wie Körper, Gruppe, Ring, Vektorraum sowie zahlreiche Abstufungen entstanden, die den Systematisierungsgrad mathematischer Objekte beschreiben und ein Rechnen damit möglich machen. Es sind oft in einzelnen Aspekten Verallgemeinerungen der Zahlen, verdienen zwar nicht mehr diesen Begriff, sind aber sowohl in der Mathematik als auch in ihren Anwendungen von Interesse. Doch um den algebraischen, geometrischen und analytischen Anforderungen gerecht zu werden und nicht auch zuletzt den Anwendungen in den Natur- und Ingenieurwissenschaften, erwiesen sich die reellen und komplexen Zahlen und mit erheblichen Abstrichen die Quaternionen als tauglich. Eine neue und bereits fruchtbare Sichtweise auf den Zusammenhang von Zahlen und Geometrie erweist sich aber auch als nützlich.