Gruppen mit einem BN-Paar vom Rang 1 oder 2

Abstract

Die Kennzeichnung der endlichen Gruppen mit einem (zerfallenden) BN-Paar gehört zu den zentralen Bestandteilen der Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen. Die Gruppen mit BN-Paaren sind assoziiert zu den Gebäuden und die Kennzeichnung der endlichen Gruppen mit einem BN-Paar vom Rang mindestens drei ist in der Klassifikation der sphärischen Gebäude von Tits enthalten. Eine besondere Rolle spielt die Klassifikation der endlichen Gruppen mit einem BN-Paar vom Rang 2, die bei dem obigen allgemeinen Resultat ausgenommen werden müssen. Eine Kennzeichnung der endlichen Gruppen mit einem zerfallenden BN-Paar vom Rang 2, welche treu auf dem zugehörigen Gebäude operieren, wurde zwischen 1973 und 1974 von Fong & Seitz vorgenommen. Die Arbeiten von Fong & Seitz gehören trotz ihrer Bedeutung wohl aber wegen ihrer Komplexität zu den eher weniger gelesenen Arbeiten der endlichen Gruppentheorie. Im Rahmen der Revision der Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen reicht es aus, die K-Gruppen mit einem BN-Paar vom Rang 2 zu kennzeichnen. In der vorliegenden Arbeit beschäftigen wir uns mit einer Revision der Arbeit von Fong & Seitz im Rahmen der Revision der Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen. Wir kennzeichnen also die endlichen K-Gruppen mit einem zerfallenden BN-Paar vom Rang 2, welche treu auf dem zugehörigen Gebäude (dem zugehörigen verallgemeinerten Polygon) operieren. Wir zeigen dazu, dass das Gebäude die Moufangbedingung erfüllt und konstruieren die Wurzeluntergruppen innerhalb der Gruppe. Die Kennzeichnung der Gruppe ist dann in der Klassifikation der Moufangpolygone von Tits & Weiss enthalten. The determination of the finite groups with a (split) BN-Pair is one of the major parts in the Classification of the finite simple groups. The groups with a BN-Pair are associated with buildings, and the determination of the finite groups with a BN-Pair of rank at least three is contained in the classification of the spherical buildings, due to Tits. The groups with a (split) BN-Pair of rank 2 are not covered by this argument, and so they play a special role. The determination of the groups with a split BN-Pair of rank 2, which act faithfully on the corresponding building, has been done by Fong & Seitz between 1973 and 1974. The works of Fong & Seitz belong in spite of their relevance but maybe because of their complexity to the less studied works in finite group theory. In view of the Revision of the Classification of the finite simple groups, it suffices to determine the groups with a split BN-Pairs, which are K-Groups. In the present thesis we are concerned with a revision of the work of Fong & Seitz in the context of the revision of the Classification of the finite simple groups. In other words, we determine the finite K-Groups with a split BN-Pair of rank 2, acting faithfully on the corresponding building (the corresponding generalized polygon). For this we show the Moufang-Condition for the corresponding building and construct the rootsubgroups inside the group. The determination of the group is then containded in the Classification of the Moufangpolygons of Tits & Weiss.