Kronecker-Produkte und multivariate Tensorprodukt Splines auf gestreuten Daten

Abstract

Bei der Bestimmung und Anwendung von Tensorprodukt Smoothing Splines auf gestreuten Daten treten große Datenmengen auf, welche nicht mit einem handels üblichen PC bearbeitet werden können. Mit Hilfe von Summen von Kronecker-Produkten lässt sich diese Problematik effizient lösen. In der vorliegenden Arbeit wird dieser Zusammenhang erläutert und weitere Verfahren vorgestellt, um den Umgang mit Summen von Kronecker-Produkten zu optimieren. Es wird eine auf Multilinearformen basierende Methode präsentiert, welche Summen von Kronecker-Produkten durch eine Summe mit weitaus weniger Summanden komprimiert bzw. approximiert. Das Verfahren wird mit Methoden aus der multilinearen Algebra verglichen, welche ebenfalls theoretisch anwendbar sind. Weiterhin wird mit Hilfe des Prokrustes-Problemes eine Mölichkeit entwickelt, um die Inverse eine Summe von Kronecker-Produkten erneut durch Kronecker-Produkte zu approximieren. Es wird an numerischen Beispielen gezeigt, dass diese Approximation als Vorkonditionierer für das GMRES-Verfahren verwendet werden kann. Abschließend wird ein Vorkonditionierer für das CG-Verfahren basierend auf Kronecker-Produkten vorgestellt. Using tensor product smoothing splines on scattered data will lead to a great amount of data, which extends the capacity of usual workstations. Sums of Kronecker products appear as a natural possibility to avoid this difficulty. The connection between the mentioned multivariate splines and Kronecker products will be shown. Furthermore several methods to optimize the handling of sums of Kronecker products will be presented. This thesis introduces a method based on multilinear forms, which approximates sums of Kronecker products through sums with less summands. A comparison with procedures from multilinear algebra is represented. Based on the procrustes problem a possibility to approximate the inverse of a sum of Kronecker products through Kronecker products is developed. Numerical experiments show that this approximation can be used as a preconditioner for the GMRES method. At the end a preconditioner for the CG method, based on Kronecker products, is presented.