Behandlung der Elektron-Positron-Paarerzeugung mit der Finite-Elemente-Methode

Abstract

Wir beschaeftigen uns im Rahmen dieser Arbeit mit der Paarproduktion mit Einfang. Dazu loesen wir die zeitabhaengige Dirac-Gleichungauf einem Gitter mit dem Verfahren der Finiten Elemente und der Finiten Differenzen. Wir zeigen den Zusammenhang dieser beidenVerfahren untereinander und zum Verfahren der Loesung der Dirac-Gleichung im Impulsraum auf einem Gitter. Die Unterschiede ergebensich in der Qualitaet der Darstellung des Impulsoperators. Wir untersuchen das Problem der Fermionenverdopplung auf einemdreidimensionalen Gitter und loesen das diskrete Eigenwertproblem fuer den freien Fall exakt. Daneben entwickeln wir ein neuesVerfahren, das nicht das Problem der Fermionenverdopplung aufweist und auf einer Transformation der Dirac-Gleichung basiert. Wirzeigen anhand eines eindimensionalen Beispiels, wie dieses Verfahren angewendet werden kann. Ein wichtiger Punkt fuer dienumerischeAnwendung der aufgestellten Gleichungen ist die Ausnutzung der raeumlichen Symmetrie des Stoßsystems. Diese Symmetrie,die bisher noch nicht genutzt wurde, reduziert das Problem auf einen Halbraum und ermoeglicht somit eine Halbierung des Gitters. Wiruntersuchen den Einfluss der Phasenfaktoren zur Erfuellung der Coulomb-Randbedingungen auf die stoerungstheoretischen Amplitudenfuer die Paarproduktion bei niedrigen Energien. Die Verwendung dieser Faktoren ist gerade fuer ein Verfahren, das fuer dieZeitentwicklung eine obere Grenze besitzt, aeusserst sinnvoll. In dieser Arbeit berechnen wir erstmals Wirkungsquerschnitte fuerverschiedene Prozesse in atomaren Schwerionenkollisionen mit einem dreidimensionalen diskreten Verfahren. So berechnenWahrscheinlichkeiten und Wirkungsquerschnitte fuer die Anregung, die Ionisation und den Transfer des Targetelektrons zum Projektil inU(91+)-U(92+) (gamma=1.5)-Stoeßen. Wir koennen fuer kleine Stoßparameter einen deutlichen Unterschied zur Stoerungstheoriefeststellen. Fuer grosse Stoßparameter koennen wir die stoerungstheoretischen Resultate reproduzieren. Fuer das SystemU(91+)-Au(79+) (gamma=2) berechnen wir ebenfalls Wirkungsquerschnitte zur Anregung und zum Ladungstransfer undWahrscheinlichkeiten zur Paarproduktion mit Einfang. Fuer die Berechnung der Paarproduktion koennen wir zeigen, dass die bishergenutzten Gleichungen fuer niedrige Energien Schwierigkeiten verursachen. Diese Schwierigkeiten bestehen darin, dass derLadungstransferprozess, der in der Zeitumkehr des Stoßes zu beobachten ist, stark mit dem negativen Kontinuum des Targets ueberlappt.Berechnet man die Paarproduktion bezueglich des Target-Vakuums, fuehrt dies zu stark erhoehten Positronenzahlen. Da die Benutzungdes Ein-Zentren-Kontinuums fuer hohe Energien geeigneter wird, schaffen wir mit dem Uebergang des Bezugssystems vom Target- zumEqual-Speed-System die Moeglichkeit, Rechnungen zu sehr großen Stoßenergien durchzufuehren. Wir betrachten das SystemU(91+)-U(92+) (gamma=10000). Wir koennen dabei erstmals numerisch die Baltz'sche Theorie des ultrarelativistischen Grenzfallsverifizieren, ohne ein delta-foermiges Potential annehmen oder Naeherungen machen zu muessen. Fuer hohe Stoßenergien kann dieBaltz'sche Theorie bei kleinen Stoßparametern als Naeherung fuer die exakte Loesung angewandt werden. Bei mittleren Stoßparameternfindet man eine sehr gute Uebereinstimmung der Baltz'schen Theorie mit der Stoerungstheorie fuer die Paarproduktions-Wahrscheinlichkeiten.