Mathematik-Verknüpfung von 2D- und 3D-Punktwolken

Abstract

Das Gebiet der Koordinatenmesstechnik hat seit dem Anfang der neunziger Jahre, ähnlich wie die Computertechnik, äußerst kurze Innovationszyklen. Der Zusammenhang zwischen diesen Gebieten ist offensichtlich, denn die Messergebnisse eines Koordinatenmessgerätes werden an einem Computer aufbereitet und ausgewertet. Der technische Fortschritt ermöglicht immer genauere Messungen und führt zur Erfassung immer größerer Punktwolken. Dadurch entsteht die Notwendigkeit, solche Punktmengen effizienter zu verarbeiten, damit ein flüssiger Ablauf der Messsoftware auch bei großen Konturen und Flächen gewährleistet wird. Die daraus entstehenden Fragestellungen sind grundsätzlich mathematischer Natur und führten zur Entwicklung von Verfahren zur effizienten Manipulation von Kurven und Flächen. In der vorliegenden Arbeit beschäftigen wir uns mit Lösungen einiger Fragen aus dem Gebiet der Koordinatenmesstechnik. Wir können die Probleme vier größeren Gebieten zuordnen. (1) Wir beginnen mit der Frage nach einer effizienten Interpolation einer Kontur. Die Aufgabe wird durch verschiedene Nebenbedingungen erschwert, die an eine solche Kontur gestellt werden. So kann eine Kontur aus mehreren, räumlich getrennten Teilkonturen bestehen. Darüber hinaus kann die Kontur Ecken enthalten, die als solche erkannt und modelliert werden müssen. Und zuletzt kann die Kontur verrauscht sein, was aber weder die Interpolation noch die Eckendetektion beeinflussen darf. Mit einer auf diese Weise interpolierten Kontur berechnen wir Abstände zu so genannten Regelgeometrien, das sind wohldefinierte geometrische Objekte, wie Geraden, Kreisen und andere geometrische Figuren. (2) Anschließend beschäftigen wir uns mit der Anpassung einer Kontur an einRegelgeometrieelement. Die wohl gebräuchlichsten und bekanntesten Elemente sind die Ausgleichsgerade und der Ausgleichskreis. Wir geben Verfahren zur Berechnung einer Ausgleichshyperbel, -ellipse und -parabel sowie zur Berechnung eines Hüll- und Pferchkreises an. (3) Das nächste Gebiet, welches wir beschreiben, ist die Filterung von Konturen. Wir stellen die klassischen, nach ISO zertifizierten Filter denmodernen Waveletfiltern sowie einem Splinefilter gegenüber. Dabei gehen wir vor allem auf die Vor- und Nachteile der einzelnen Verfahren ein und bewerten die Ergebnisse anhand von Testkonturen. (4) Zuletzt beschäftigen wir uns mit Flächen. Wir beschreiben zwei Methoden zur Glättung von Flächen. Dabei greifen wir nicht auf die Verfahren, wie Tensorprodukt-Splines, NURBS oder Subdivision-Verfahren, sondern auf die radialen Basisfunktionen zurück. Similarly as computer engineering, the field of coordinate measuring techniques is characterized by extremely short innovation cycles. The relation between both fields is obvious, because the results of a coordinate measuring machine are prepared and evaluated at a personal computer. The technical progress has made more and more precise measurements possible and led to the consideration of larger and larger point clouds, which require efficient algorithms for the measurement software. The questions arising are, in principle, of mathematical nature and led to the development of algorithms for efficient manipulation of curves and surfaces. In the present work we are concerned with the solution of several questions regarding coordinate measuring techniques. We can assign the problems to four larger classes. (1) We begin with the problem of efficient contour interpolation. The task is made more difficult by secondary conditions. For example, a contour can consist of several, spatially separated subcontours. Besides, the contour can comprise corners which must be recognized and modelled. Finally, the contour can contain noise which must affect, however, neither the interpolation nor corner detection. With a suitably interpolated contour we compute distances to an ideal geometry element (for example a line, circle or other geometry figure). (2) In the following section we are concerned with the adjustment of a contour to an ideal geometry element. The probably best-known elements are the least-square line and the least-square circle. We develop algorithms for the computation of a least-square hyperbola, ellipse and parabola as well as for the computation of minimum-enclosed and maximum-inscribedcircles, respectively. (3) The next topic is contour filtering. We compare the classical, ISO-certified filter with wavelet- and spline-filters. (4) The topic of the last section is approximation and smoothing of surfaces. We describe two methods for surface smoothing which employ radial basis functions instead of techniques like tensor-product splines, NURBS or subdivision schemes.