Modelling of multivariate asset processes using squared Bessel processes

Abstract

Based on the Merton model numerous so called structural credit risk models were developed. Their main property is that the default time is modelled as the first passage time of a stochastic process. As an example we survey a model introduced by Albanese and co-authors in 2003. The utilized process results from a stochastic transformation applied to a Squared Bessel process. In order to be able to consider dependencies between different obligors, in the main chapter of this thesis we introduce a model where the ability to pay process is described as the sum of two independent Squared Bessel processes. One process represents the individual risk and the second process represents the common risk. The default barrier is considered to be zero. The first passage time of the ability to pay process and thus the default time is composed as the sum of the first passage time T of the common process and the first hitting of zero of the individual process after time T. In the next chapter two further approaches are presented shortly. The last chapter depicts the major part of an already published article about the role of copulas in the CreditRisk+ model. Basierend auf dem Merton Modell wurden zahlreiche sogenannte strukturelle Kreditrisikomodelle entwickelt, deren Hauptmerkmal ist, dass der Ausfallzeitpunkt als Erstaustrittszeit eines stochastischen Prozesses modelliert wird. Als Beispiel wird ein von Albanese und Koautoren 2003 vorgestelltes Modell näher betrachtet. Der verwendete stochastische Prozess resultiert aus einer stochastischen Transformation, angewendet auf einem Squared Bessel Prozess. Um auch Abhängigkeiten zwischen verschiedenen Kreditnehmern modellieren zu können, wird im Hauptkapitel dieser Arbeit ein Modell vorgestellt, bei dem der Kreditwürdigkeitsprozess als Summe zweier unabhängiger Squared Bessel Prozesse dargestellt wird. Dabei repräsentiert ein Prozess das individuelle Risiko und der zweite Prozess das gemeinsame Risiko. Dieser Prozess wird als gestoppter Prozess modelliert. Als Ausfallschranke dient die Null. Die Erstaustrittszeit des Kreidtwürdigkeitsprozesses und somit der Ausfallzeitpunkt setzt sich zusammen als Summe der Erstaustrittszeit T des gemeinsamen Prozesses und der Zeit bis zum ersten Eintreffen in der Null des individuellen Prozesses nach T. Im nächsten Kapitel werden zwei weitere Modellansätze kurz vorgestellt. Das letzte Kapitel gibt den Hauptteil eines bereits veröffentlichten Artikels über die Verwendung von Copulas in CreditRisk+ wieder.