Neue Verfahren zur Approximation mit radialen Basisfunktionen und numerische Untersuchung der Dagum-Funktionen

Abstract

In dieser Arbeit werden zwei neue Verfahren zur Approximation mit radialen Basisfunktionen eingeführt und deren numerische Ergebnisse miteinander verglichen. Außerdem wird eine neue Familie von radialen Basisfunktionen, die Dagumfunktionen, untersucht und ebenfalls numerisch ausgewertet. Zunächst werden formale Grundlagen zur Interpolation mit und allgemeine Eigenschaften von radialen Basisfunktionen (RBF) vorgestellt, sowie die Quasi-Interpolation (QI) mit radialen Basisfunktionen und die allgemeine Herleitung der Berechnung der Koeffizienten eingeführt.Für die Dagumfunktionen gibt es bereits notwendige und hinreichende Bedingungen an deren Parameter, damit die Interpolationsmatrix nichtsingulär ist, allerdings werden einige Fälle nicht vollständig abgedeckt, so dass keine genau dann, wenn Aussage existiert. Als Erweiterung der hinreichenden Bedingungen wird der Spezialfall einer Ableitung der Dagumfunktionen bewiesen. In der Interpolation bei der Verwendung von radialen Basisfunktionen gibt es Einschränkungen in der Anzahl N der Interpolationspunkte sowie - bei bestimmten radialen Basisfunktionen - in der Wahl des Glättungsparameters. Für große N kann die Interpolationsmatrix numerisch instabil und deren Konditionszahl sehr groß sein. Der Glättungsparameter des Gaußkerns (GA), der Multiquadrics (MQ), der inversen Multiquadrics (IMQ) oder der shifted-Thin-Plate-Splines (sTPS) führt für sehr kleine Werte ebenfalls zu schlecht konditionierten Interpolationsmatrizen. Der RBF-QR-Algorithmus von Fornberg et. al. umgeht die Probleme der direkten Interpolation und kann auch für große N und sehr kleine Glättungsparameter verwenden werden. Dieser Algorithmus ist allerdings nur für den Gaußkern sowie für Besselfunktionen im 2-dimensionalen konstruiert. Es wird in dieser Arbeit ein neuer Algorithmus (RBF-QR-GQ Algorithmus) eingeführt, der für die inverse Multiquadrics, deren Verallgemeinerung und die Multiquadrics für sehr kleine Glättungsparameter und große N eine stabile Auswertung ermöglicht.Weiterhin wird die Quasi-Interpolation konkretisiert und der darauf aufbauende RBF-QI Algorithmus für die Thin-Plate-Splines und shifted-Thin-Plate-Splines eingeführt.Abschließend werden die numerischen Ergebnisse für die Dagumfunktionen zu unterschiedlichen Parameterwerten und deren relative Interpolationsfehler dargestellt, ein ausführlicher Vergleich der numerischen Ergebnisse des RBF-QR- und RBF-QR-GQ-Algorithmus durchgeführt sowie die numerische Betrachtung des RBF-QI-Algorithmus für die shifted-Thin-Plate-Splines aufgezeigt.