Zur Numerik kontinuierlicher Wavelet- und Matrixwavelet-Transformationen : mit Anwendungen in Filterung und Analyse des Elektroenzephalogramms

Abstract

Die vorliegende Arbeit besteht aus mehreren theoretischen und praktischen Abschnitten, wobei in letzteren die jeweils vorher dargestellte Theorie zur Anwendung kommt.Die theoretischen Abschnitte befassen sich mit folgenden Themen:1. Numerische Probleme, die bei der Anwendung der kontinuierlichen Wavelettransformation (CWT) und ihrer Inversen auf Zeitreihen von Skalaren auftreten:Dazu werden zunächst die bereits vorhandenen Erkenntnisse über die CWT - insbesondere ihr Abklingverhalten bei kleinen Skalen - rekapituliert und darüber hinaus die zur praktischen Anwendung fehlenden Eigenschaften, nämlich das Abklingverhalten bei großen Skalen und das Verhalten der Ableitungen der Transformierten in Skalenrichtung untersucht.Diese Ergebnisse ermöglichen eine Abschätzung der entstehenden Fehler, wenn mit einer endlichen Menge von Skalen gearbeitet wird.Die Betrachtungen werden dann auf den Fall bandbegrenzter Signale ausgedehnt, was eine Verbesserung der Abschätzung für die in der Anwendung auftretenden Signale ermöglicht.2. Verallgemeinerung der CWT auf vektorielle Zeitreihen:Hier wird gezeigt, wie sich die skalare CWT auf vektorielle Zeitreihen verallgemeinern lässt, was die Verwendung matrixwertiger Wavelets mit nach wie vor skalarem Argument nötig macht und auf natürliche Weise zu verschiedenen Invertierungsformeln führt, die sich vor allem in Rechenaufwand und Stabilität unterscheiden.Anschließend werden verschiedene Methoden zur Konstruktion von für die jeweilige Anwendung geeigneten Matrixwavelets vorgestellt und die unterschiedliche Stabilität der verschiedenen Invertierungen anhand einiger numerischer Experimente demonstriert.Die praktischen Abschnitte befassen sich mit zwei verschiedenen Anwendungen:1. Die Entfernung des cardioballistischen Artefakts aus EEG-Daten, die im Magnetresonanztomographen gewonnen wurden:Hierzu wird mit Hilfe der CWT jeder EEG-Kanal so gefiltert, dass eine möglichst gute Unterdrückung des Artefakts erreicht wird. Die erreichten Ergebnisse werden mit dem weit verbreiteten Verfahren von Allen et al. verglichen.2. Die Analyse von EEG-Daten, die im Rahmen eines Sprachexperiments erhoben wurden:Hierzu werden zwei Matrixwavelets auf Grund theoretischer Überlegungen konstruiert und auf den transformierten Daten eine Hauptkomponentenanalyse durchgeführt. Dies erlaubt es, unterschiedliche Aktivierungsschwerpunkte zu erkennen und eine Dimensionalitätsanalyse durchzuführen. Danach werden die gewonnenen Ergebnisse mit denen verglichen, wie sie aus einer skalaren Transformation der einzelnen EEG-Kanäle gewonnen werden können.Abschließend wird ein Überblick über die im Rahmen der Arbeit entwickelte Software gegeben.