Anwendungen des Empirischen Likelihood-Schätzers der Fehlerverteilung in AR(1)-Prozessen

Abstract

Mit den Arbeiten von Owen wurde das empirische Likelihood-Prinzip (kurz EL-Prinzip) in die mathematische Statistik eingeführt. Es ermöglicht im Modell unabhängig und identisch verteilter Daten unter anderem die nichtparametrische Schätzung von Verteilungen unter Zusatzinformationen mittels einer modifizierten empirischen Verteilungsfunktion. Darüber hinaus wurde es in jüngster Zeit (z. B. in der Diplomarbeit des Verfassers) in Zeitreihenmodellen erfolgreich zur Schätzung der Fehlerverteilung angewendet. In der vorliegenden Arbeit werden weitere mögliche Anwendungen des EL-Prinzips diskutiert. Der erste Teil der Arbeit beschäftigt sich mit Anpassungstests auf parametrische Verteilungsklassen unter Voraussetzung der Zentriertheit. Mithilfe der Theorie empirischer Prozesse mit geschätztem Parameter werden adäquate Tests vom Kolmogorov-Smirnov-Typ sowohl im Modell unabhängig und identisch verteilter Daten als auch im AR(1)-Modell konstruiert. Dabei ist jeweils ein funktionaler Grenzwertsatz unter der Hypothese des Testproblems grundlegend. Die Konsistenz der zugehörigen Bootstraps-Prozesse wird bewiesen, um die Ergebnisse praktisch anwendbar zu machen, d.h. Bootstrap-Tests angeben zu können. Simulationsstudien schließlich zeigen die durch die Ausnutzung der Zentriertheit erhaltenen Güteverbesserungen gegenüber den klassischen Tests auf. Der letzte Teil der Arbeit widmet sich nichtparametrischen Ein- und Zweischritt-Prognoseintervallen in stabilen AR(1)-Prozessen auf Basis der gewöhnlichen wie der modifizierten empirischen Verteilungsfunktion der Residuen. Dazu wird zunächst die Konsistenz der so konstruierten Intervalle gezeigt. In einem zweiten Schritt werden in beiden Fällen die asymptotischen Verteilungen ihrer bedingten Überdeckungswahrscheinlichkeiten ermittelt und verglichen. The empirical Liklihood principle (EL-principle) was introduced into mathematical statistics by Owen. It allows for the estimation of an unknown probability distribution of independent and identically distributed random variables if some auxiliary infomation is available. It has also been successfully used recently in autoregressive models to estimate the innovation distribution (in the author´s diploma thesis, for example). In the present thesis further applications of the EL-principle are discussed.The first part of the thesis is concerned with goodness-of-fit tests for parametric classes of distributions when the mean of all distribution is zero under the hypotheses. Using the theory of empirical processes with estimated parameters tests of Kolmogorov-Smirnov type are established for independent and identically distributed random variables as well as in AR(1)-models. For these results two functional central limit theorems are essential. In a second step consistency of the associated bootstrap processes is shown to make the results applicable by deriving bootstrap tests. Simulations show the gain of power in comparison to the classical tests. The last part of the thesis examines nonparametric prediction intervals of lag one and two in stable AR(1)-models based on the common empirical distribution function of the residuals as well as the one modified according to the EL-principle. Firstly, consistency is shown. Moreover, in both cases the asymptotic distributions of the conditional coverage probabilities are derived and compared.