Das Gebiet der Koordinatenmesstechnik hat seit dem Anfang der neunziger Jahre, ähnlich wie die Computertechnik, äußerst kurze Innovationszyklen. Der Zusammenhang zwischen diesen Gebieten ist offensichtlich, denn die Messergebnisse eines Koordinatenmessgerätes werden an einem Computer aufbereitet und ausgewertet. Der technische Fortschritt ermöglicht immer genauere Messungen und führt zur Erfassung immer größerer Punktwolken. Dadurch entsteht die Notwendigkeit, solche Punktmengen effizienter zu verarbeiten, damit ein flüssiger Ablauf der Messsoftware auch bei großen Konturen und Flächen gewährleistet wird. Die daraus entstehenden Fragestellungen sind grundsätzlich mathematischer Natur und führten zur Entwicklung von Verfahren zur effizienten Manipulation von Kurven und Flächen.
In der vorliegenden Arbeit beschäftigen wir uns mit Lösungen einiger Fragen aus dem Gebiet der Koordinatenmesstechnik. Wir können die Probleme vier größeren Gebieten zuordnen.
(1) Wir beginnen mit der Frage nach einer effizienten Interpolation einer Kontur. Die Aufgabe wird durch verschiedene Nebenbedingungen erschwert, die an eine solche Kontur gestellt werden. So kann eine Kontur aus mehreren, räumlich getrennten Teilkonturen bestehen. Darüber hinaus kann die Kontur Ecken enthalten, die als solche erkannt und modelliert werden müssen. Und zuletzt kann die Kontur verrauscht sein, was aber weder die Interpolation noch die Eckendetektion beeinflussen darf. Mit einer auf diese Weise interpolierten Kontur berechnen wir Abstände zu so genannten Regelgeometrien, das sind wohldefinierte geometrische Objekte, wie Geraden, Kreisen und andere geometrische Figuren.
(2) Anschließend beschäftigen wir uns mit der Anpassung einer Kontur an einRegelgeometrieelement. Die wohl gebräuchlichsten und bekanntesten Elemente sind die Ausgleichsgerade und der Ausgleichskreis. Wir geben Verfahren zur Berechnung einer Ausgleichshyperbel, -ellipse und -parabel sowie zur Berechnung eines Hüll- und Pferchkreises an.
(3) Das nächste Gebiet, welches wir beschreiben, ist die Filterung von Konturen. Wir stellen die klassischen, nach ISO zertifizierten Filter denmodernen Waveletfiltern sowie einem Splinefilter gegenüber. Dabei gehen wir vor allem auf die Vor- und Nachteile der einzelnen Verfahren ein und bewerten die Ergebnisse anhand von Testkonturen.
(4) Zuletzt beschäftigen wir uns mit Flächen. Wir beschreiben zwei Methoden zur Glättung von Flächen. Dabei greifen wir nicht auf die Verfahren, wie Tensorprodukt-Splines, NURBS oder Subdivision-Verfahren, sondern auf die radialen Basisfunktionen zurück.
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