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Vergleichsmethoden und Hyperbolizität für periodische Orbits bei positiver, verzögerter Rückkopplung

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2003

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http://dx.doi.org/10.22029/jlupub-9511

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Wir betrachten ein Modell einer verzögerten, positiven und monotonen Rückkopplung mit spontaner Dämpfung, das durch eine Delay-Differentialgleichung gegeben ist; nach einer Skalierung der Zeit erhalten wir eine Zeitverzögerung von 1. Solche Gleichungen treten bei der Modellierung neuronaler Netze auf, insbesondere ist eine Beschreibung einzelner Neuronen bzw. Netze synchronisierter Neuronen möglich. Die Untersuchung von periodischen Lösungen solcher Gleichungen ist von besonderem Interesse, u.a. für die Identifikation des globalen Attraktors im Phasenraum C der auf [-1,0] stetigen reellen Funktionen. Ein Eindeutigkeitsbeweis für periodische Lösungen mit Periode zwischen 1 und 2, d.h. die Orbit-Eindeutigkeit in C, ist ein wichtiger Teilaspekt bei der Attraktorfindung. Im ersten Teil der Arbeit beweisen wir Eindeutigkeitsresultate, indem wir eine auf Nussbaum zurückgehende Methode benutzen, die das Problem von C in die reelle Ebene verlagert. Im zweiten Teil der Arbeit vereinfachen wir die Dynamik der Gleichung in der Nähe einer gegebenen speziellen symmetrischen Lösung x, welche existiert, wenn der Rückkopplungsmechanismus symmetrisch ist: Eine Kombination einer Arbeit von Walther mit neueren Ergebnissen von Krisztin, Walther und Wu ermöglichen den Beweis der Hyperbolizität von x, d.h. kein Floquet-Multiplikator von x ausser 1 darf auf dem komplexen Einheitskreis liegen, wobei 1 einfach ist.

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