Superlinear dynamics of a scalar parabolic equation

Abstract

This thesis is concerned with the semilinear parabolic cauchy problem $$u_t-u_{xx}=f(u),qquad u(cdot,0)=u_0,quad u(0)=u(1)=0.$$ This problem is the simplest model of an heat or reaction-diffusion equation. From a mathematical point of view this problem induces a semiflow $phi$ on the state space $H^1_0([0,1])$. We are interested in the dynamical properties of $phi$. In the case of superlinear growth of $f$ there are infinitely many equilibrium solutions, and for that case there seem to be no general results on connecting orbits of flow equivalence. The numerous results on this and similar superlinear problems, e.g. by Marek Fila, Hiroshi Matano, Peter Polacik, Pavol Quittner and others, are mainly concerned with blow-up solutions. Not much is known about global, bounded solutions. In this work we are able to describe exactly which equilibria are connected by heteroclinic orbits, and which are not. We are able to prove structural stability of certain finite dimensional invariant sets $A_{n,infty}$ for a subclass of superlinear functions (containing the model case $f(u)=u|u|^p-lambda u$). These sets also contain blow-up trajectories. We obtain our results the following way: A superlinear function $f$ is modified outside a compact interval in such a way, that we obtain a dissipative semiflow. As the state space $H^1_0([0,1])$ is compactly embedded into $cont^0([0,1])$, the modified flow coincides with the original flow $phi$ on a neighborhood of 0. Increasing the interval on which $f$ remains unchanged, this neighborhood of 0 increases accordingly. In this way we can transfer results from the dissipative case to $phi$. Capter 3 is the technical core of this thesis. We make sure that the technical problems in modifying $phi$ are solved. The modified function will be made constant outside a constant interval. Thus all growth conditions for the existence of a global attractor are fulfilled. The equilibrium solutions are second-order boundary value problems, so we can work with phase plane analysis and shooting curve techniques. Die vorliegende Arbeit befasst sich mit demsemilinearen parabolischen Anfangs-Randwertproblem $$u_t-u_{xx}=f(u),qquad u(cdot,0)=u_0,quad u(0)=u(1)=0.$$ Dieses Problem ist das einfachste Modell einer Wärmeleitungs- oderReaktions-Diffusionsgleichung. Aus mathematischer Sicht induziertdiese Gleichung einen Halbfluß $phi$ auf dem Zustandsraum$H^1_0([0,1])$, an dessen dynamischen Eigenschaften wir interessiertsind. Im Fall superlinear wachsender rechter Seite gibt es unendlich vieleGleichgewichtslösungen, und für diesen Fall scheint es keineallgemeinen Resultate über verbindende Orbits oder Flussäquivalenzzu geben. Die zahlreichen Arbeiten über dieses und ähnlichesuperlineare Probleme, z.B. von Marek Fila, Hiroshi Matano, PeterPolacik, Pavol Quittner und anderen, befassen sichüberwiegend mit Blow-Up Lösungen. Über global beschränkte Lösungenscheint wenig bekannt zu sein. In der vorliegenden Arbeit gelingt esuns, für eine sehr große Klasse von superlinearen Nichtlinearitätengenau anzugeben, welche Gleichgewichtslösungen durch heteroklineOrbits verbunden werden, und welche nicht. Für eine Teilklassesuperlinearer Probleme (diese enthält den Modellfall $f(u)=u|u|^p$oder auch $f(u)=u|u|^p-lambda u$) können wir beweisen, daß bestimmteendlichdimensionale invariante Mengen $A_{n,infty}$ strukturellstabil sind. Die Mengen$A_{n,infty}$ enthalten auch Blow-Up Lösungen (d.h. unbeschränkteLösungen mit endlicher Existenzzeit), d.h. diese partiellestrukturelle Stabilität erstreckt sich auch auf das Blow-Up Verhalten. Wir erhalten unsere Resultate auf folgende Weise: Einesuperlineare Funktion $f$ wird ausserhalb eines kompakten Intervallsso abgeändert, daß ein dissipativer Halbfluss entsteht. Da derZustandsraum $H^1_0([0,1])$ kompakt nach $cont^0([0,1])$ einbettet,stimmt dieser abgeänderte Halbfluss auf einer Nullumgebung mit demursprünglichen Fluß $phi$ überein. Wird nun das Intervall vergrößert,auf dem $f$ unverändert bleibt, so wächst auch diese Nullumgebungentsprechend, und es lassen sich die Ergebnisse über den dissipativenFall anwenden und auf $phi$ übertragen. Sicherzustellen, dass dabei alle Voraussetzungen erfuellt sind,ist der technische Kern dieser Arbeit (Kapitel 3). Konkret werden dieNichtlinearitäten, nach einem kurzen geglätteten Übergang, konstantfortgesetzt --- damit erfüllen sie die Wachstumsbedingung für dieExistenz eines globalen Attraktors. Dabei geht entscheidend ein, daßdie Gleichgewichtslösungen Lösungen gewöhnlicherDifferentialgleichungen zweiter Ordnung sind. Als zweidimensionalesSystem können zur Analyse die Struktur des Phasenraumes undShooting-Curve Techniken verwendet werden.