Changepointtests für die Fehlerverteilung in ARMA-Zeitreihen

Abstract

Zur Konstruktion von Changepointtests für die Verteilung von sukzessive beobachteten unabhängigen Daten können sequentielle empirische Verteilungsfunktionen verwendet werden. Die grundlegende Idee hierbei ist, zu jedem möglichen Changepoint die empirische Verteilungsfunktion des ersten Teils der Daten mit der empirischen Verteilungsfunktion der restlichen Daten zu vergleichen.Ein naheliegender Ansatz besteht darin, die Differenz dieser beiden empirischen Verteilungsfunktionen zu betrachten. Da deren Verteilung zu endlichem Stichprobenumfang schwierig zu behandeln ist, ist es sinnvoll sich auf asymptotische Betrachtungen zu beschränken, z. B. mittels funktionaler Grenzwertsätze. Indem man geeignete Funktionale auf diese Differenz anwendet, erhält man hieraus die asymptotische Verteilung von Teststatistiken für Changepointtests, so führt z.B. die Supremumsnorm zu einer Statistik vom Kolmogorov-Smirnov-Typ.Indem man die unabhängigen Beobachtungen durch die Residuen aus ARMA-Zeitreihen ersetzt, kann man ähnliche asymptotische Tests für Cangepoints der Fehlerverteilung in diesen Zeitreihenmodellen erhalten. Häufig sind dabei die Fehlervariablen als zentriert angenommen, eine Information die beim klassischen Ansatz nicht berücksichtigt wird. In der vorliegenden Arbeit wird eine Variante dieses Ansatzes mit einer auf einem nichtparametrischen Maximum-Likelihood-Verfahren basierenden modifizierten sequentiellen empirischen Verteilungsfunktion entwickelt, welche die zusätzliche Information der Zentriertheit zu berücksichtigen versucht. Die auf diese Weise erhaltene Kolmogorov-Smirnov-Statistik ist jedoch nicht mehr asymptotisch verteilungsfrei, so dass hier eine Bootstrapmethode zur Erzeugung asymptotischer kritischer Werte für diese Teststatistik nötig wird.Ein zweiter möglicher Ansatz zur Konstruktion von Changepointtests verwendet Statistiken vom U-Statistik-Typ, bei denen ein antisymmetrischer Kern auf geeignete Weise nach den sequentiellen empirischen Verteilungen der beiden Teilmengen der Beobachtungen ausintegriert wird. Durch geeignete Wahl des Kerns ist eine Anpassung dieser Tests an vermutete Alternativen möglich. Dieser im Falle unabhängiger Beobachtungen wohlbekannte Ansatz wird in der vorliegenden Arbeit verwendet um weitere asymptotische Changepointtests für die Fehlerverteilung in ARMA-Modellen zu erhalten, sowohl unter Verwendung der klassischen als auch der zentrierten Varianten der sequentiellen empirischen Verteilungsfunktionen der Residuen. Um die Güte der hier konstruierten Tests vergleichen zu können werden ausgewählte Folgen von benachbarten Alternativen betrachtet. Es zeigt sich, dass bei dem erstgenannten Ansatz durch die Berücksichtigung der Zentriertheit durchweg eine zum Teil beträchtliche Verbesserung der Testgüte zu erzielen ist, während dies bei dem Ansatz mit den U-Typ-Statistiken nicht immer der Fall ist. Hier können sich zwar auch enorme Verbesserungen der Güte ergeben, allerdings kann bei gängigen Beispielen die Güte auch durchaus gleich bleiben. Sequential empirical distribution functions may be used to construct statistical tests for the detection of changes in distribution of successively observed independent random data. The basic idea is to compare the empirical distribution function of the first part of the data with the empirical distribution function of the remaining data, and to do so for every possible changepoint.One obvious approach is to consider the difference of these two empirical distribution functions. The finite sample distribution being intractable in this case one has to resort to asymptotic considerations, for example via functional limit theorems. By applying suitable functionals to this difference, one can then obtain the asymptotic distribution of test statistics for changepoint tests, the supremum norm yielding the asymptotic distribution of a Kolmogorov-Smirnov-type statistic. By replacing the independent variables by the residuals of ARMA time series, one can obtain similar asymptotic tests for changepoints of the error distribution in these time series. These errors are often assumed to have mean zero, an information which is not taken into account by the classical approach. In this thesis a variant of this approach using modified sequential empirical distribution functions based on ideas from nonparametric maximum likelihood estimation is proposed, trying to exploit the additional information. In this context the Kolmogorov-Smirnov statistic is no longer asymptotically distribution free. Therefore, it is necessary to use a bootstrap method to obtain asymptotic critical values for the test statistic.A second approach for the construction of changepoint tests uses test statistics of U-statistic type, in which an antisymmetric kernel is integrated appropriately with respect to the sequential empirical measures of both subsets of the observations. By choosing suitable kernels an adaption of these tests to specific alternatives can be achieved. This approach is well known in the case of independent data, and in this thesis it is applied to obtain changepoint tests for the error distribution in ARMA time series, using both the classical empirical distribution functions of the residuals as well as the variants which exploit the additional information of the error variables having mean zero.To be able to compare the asymptotic power of the tests mentioned above, selected sequences of contiguous alternatives are considered. It seems that for the first approach always a sometimes considerable improvement in power is achieved when the additional information is taken into account, in contrast to the second approach using U-type statistics. Here huge improvements of power are possible, too, but in some quite common examples the asymptotic power remains the same.