Zahlen - Geschichte, Bedeutung und Verallgemeinerung des Zahlbegriffes

Abstract

Zahlen sind so alt wie es Menschen einer Entwicklungsstufe gibt, die entsprechend abstrahieren können und nur die Anzahl von Objekten als Gemeinsamkeit sehen. So endstand das Zählen und die natürlichen Zahlen. In frühen Hochkulturen wurde auch bereits intensiv mit Brüchen gerechnet. Negative Zahlen wurden jedoch teilweise bis ins 15. Jahrhundert vehement abgelehnt. Auch die Null taucht erst Mitte des ersten Jahrtausends nach Christus in Indien auf. Die Entdeckung von irrationalen Zahlen galt lange Zeit als erste Krise der antiken Mathematik. Das wird heute relativiert. Erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts wurde erkannt, dass durch alle reellen Zahlen ein lückenloses Kontinuum gebildet wird und somit der Stetigkeit eine konsistente Grundlage gegeben werden konnte. Die komplexen Zahlen schenkten der Mathematik eine bedeutende Erweiterung und erlaubten z.B. in der Funktionentheorie Sätze von großer Allgemeinheit, Tragweite und Ästhetik. Versuche zu Erweiterungen des Zahlbegriffes über die komplexen Zahlen hinaus mussten aber Einschränkungen hinnehmen. Diese Einschränkungen orientieren sich an der Systematik, die seit etwa 200 Jahren durch die Algebra begründet wurde. Es sind vielfältige Begriffe, wie Körper, Gruppe, Ring, Vektorraum sowie zahlreiche Abstufungen entstanden, die den Systematisierungsgrad mathematischer Objekte beschreiben und ein Rechnen damit möglich machen. Es sind oft in einzelnen Aspekten Verallgemeinerungen der Zahlen, verdienen zwar nicht mehr diesen Begriff, sind aber sowohl in der Mathematik als auch in ihren Anwendungen von Interesse. Doch um den algebraischen, geometrischen und analytischen Anforderungen gerecht zu werden und nicht auch zuletzt den Anwendungen in den Natur- und Ingenieurwissenschaften, erwiesen sich die reellen und komplexen Zahlen und mit erheblichen Abstrichen die Quaternionen als tauglich. Eine neue und bereits fruchtbare Sichtweise auf den Zusammenhang von Zahlen und Geometrie erweist sich aber auch als nützlich.