The homotopy type of the space of tight contact structures on the 3-sphere

Abstract

Consider the space of contact structures on the 3-sphere that are fixed at one point.This work shows that the connected component Xi that contains the standard contact structure on the 3-sphere has the homotopy type of a point.The problem is transferred to studying a family of vector fields on the 2-sphere using Giroux s theory of surfaces in contact manifolds. The singular points of these vector fields are treated via 3 types of neighbourhoods. A deformation of contact structures is described that deforms the family of vector fields and "eliminates" singular points in these neighbourhoods. Building on this construction, an algorithm is given that deforms a given loop of contact structures in Xi until all vector fields belong to spheres that are convex surfaces in the sense of Giroux with respect to each contact structure of the loop. In this situation, a homotopy of this loop to the constant one can be constructed.As a consequence, every loop of diffeomorphisms of the 3-sphere that fixes a 2-plane in the tangent space of one point is homotopic to a loop of contactomorphisms of the standard contact structure. Man betrachte den Raum der Kontaktstrukturen der 3-dimensionalen Sphäre, die an einem Punkt der Sphäre fixiert sind. Die vorliegende Arbeit zeigt, dass diejenige Zusammenhangskomponente Xi des Raums, welche die Standard-Kontaktstruktur enthält, den Homotopietyp eines Punkts hat.Das Problem wird übertragen auf das Studium einer Familie von Vektorfeldern auf der 2-Sphäre vermöge Girouxs Theorie von Flächen in Kontaktmannigfaltigkeiten. Die singulären Punkte der Vektorfelder werden mittels 3 Typen von Umgebungen behandelt. Es wird eine Deformation von Kontaktstrukturen beschrieben, welche sich auf die Familie von Vektorfeldern auswirkt und singuläre Punkte dieser in den genannten Umgebungen "eliminiert". Aufbauend auf dieser Deformation wird ein Algorithmus beschrieben, der eine Schleife von Kontaktstrukturen in Xi deformiert, bis alle Vektorfelder zu 2-Sphären gehören, welche konvexe Flächen im Sinne von Giroux sind vermöge jeder Kontaktstruktur der Schleife. In dieser Situation kann eine Homotopie der Schleife von Kontaktstrukturen zur konstanten Schleife konstruiert werden.Dies impliziert zudem, dass jede Schleife von Diffeomorphismen der 3-Sphäre, die eine Ebene im Tangentialraum an einem Punkt fixiert, homotop ist zu einer Schleife aus Kontaktomorphismen der Standard-Kontaktstruktur der 3-Sphäre.