Periodische Lösungen von Differentialgleichungen unter zustandsabhängiger Verzögerung: Verzweigung im Monodromie-Spektrum

Abstract

Es geht darum, die Stabilität einer periodischen Funktion p : R -> R, die sowohl Lösung einer Differentialgleichung mit konstanter Verzögerung als auch Lösung einer Familie von Gleichungen mit variabler Verzögerung ist, zu vergleichen.Als Ausgangsgleichung mit konstanter Verzögerung wurde folgende Gleichung betrachtet:x´(t) = g(x(t-1)) für t>0,wobei g : R -> R eine ungerade stetig differenzierbare Abbildung ist. Bei der Gleichung mit konstanter Verzögerung besteht das Spektrum des Monodromieoperators nur aus den Werten 0 und dem einfachen Multiplikator 1, also ist die periodische Lösung extrem attraktiv, während bei der Familie von Gleichungen mit variabler Verzögerung ein Eigenwert lambda von der 0 abzweigt und gegen -unendlich wandert, wenn man die variable Verzögerung groß macht. Wenn der Eigenwert lambda den Einheitskreis bei -1 überkreuzt, gibt es eine Periodenverdopplungsverzweigung und die periodische Lösung p verliert Stabilität.