Chaos und Fraktale: Einsichten, Begriffe und Beispiele - Ein Überblick

Abstract

Die Chaostheorie hat nicht nur der Mathematik und der Informationstheorie ein neues Gebiet beschert, sie hat auch tiefgreifende Veränderungen innerhalb und außerhalb der Fachwissenschaften initiiert. Da existieren einerseits klar definierte, deterministische Prozesse, die sich oft mit einfachen Formeln beschreiben lassen. Andererseits nehmen die Verläufe dieser Prozesse ein Verhalten an, für das sich der Begriff „Zufälle“ geradezu aufdrängt, obwohl die mathematische Beschreibung nach wie vor deterministisch ist. Wir als moderne Gesellschaft sind schon weit in die Digitalisierung vorgedrungen und gehen mit mehr oder weniger großen Schritten weiter in diese Richtung. Viel Fraktale wären nicht ohne die neuen technischen Möglichkeiten entdeckt worden. Die Technik war und ist Wegbereiter der mathematischen Forschung in diesem Gebiet. Trotz ihrer Rechenstärke und Leistungsfähigkeit haben digital arbeitende Computer gegenüber analytischen Methoden der reinen Mathematik ein Manko. Sie müssen zwangsläufig Dezimalzahlen entsprechender Länge je nach Rechnertyp und Betriebssystem runden. In nichtlinearen Systemen kann durch Iteration und Rückkopplung eine kleine Abweichung vom Ausgangswert eine vollkommen unvorhersehbare Entwicklung nehmen. Die Entwicklung wird chaotisch. Eine weitere Variante kann zu einem Attraktor führen, d.h. bei dem kein genauer Zielpunkt der Entwicklung identifizierbar ist, sondern in dem System sich auf einen mehrdimensionalen Phasenraum hinbewegt – ein Fraktal. Chaos und Fraktale sind dabei zwei Seiten einer Medaille. Es sollen im vorliegenden Beitrag Schlüsselbegriffe zu Chaos und Fraktale aus Sicht der Mathematik und Informatik diskutiert werden. Es wird dabei auf erkenntnistheoretische Aspekte hingewiesen.